Semifinale Campionati internazionali - quesito 13

[desko]

Sabato scorso ci sono state le semifinali dei Campionati internazionali di Giochi Matematici; io sono riuscito a fare tutto tranne il quesito 13.

13. Lettere e numeri
Ad una stessa lettera corrisponde sempre la stessa cifra e a
lettere diverse corrispondono cifre diverse. Inoltre, nessun
numero comincia con la cifra 0.
Quanto vale VERLAN sapendo che è R = 1 e che vale
la seguente uguaglianza:
VERLAN × 3 = LANVER × 4?

Ora la soluzione la so e avrei potuto anche arrivarci, se mi fossero venute in mente le proprietà di un certo numero che conosco bene; ma mi chiedo se era fattibile anche in altro modo.

Grazie

PS: se interessa il link ai testi completi (senza soluzioni) è questo: http://matematica.unibocconi.it/sites/default/files/2017.semifinali.q.pdf

[kobeilprofeta]

Non è il periodo del 7?

142857
?

[axpgn]

Allora ... non mi viene in mente nessuna proprietà particolare ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Alcune considerazioni ... dato che $R=1$ allora $N=8$ ... poi LANVER è divisibile per tre e VERLAN per quattro, da cui si può ricavare una prima selezione di valori possibili per L e V (una decina di coppie) ... provando con queste si giunge alla soluzione $\text(LANVER)=428.571$ ...

Cordialmente, Alex

[kobeilprofeta]

@alex

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142857*1=142857
142857*2=285714
142857*3=428571
142857*4=571428
142857*5=714285
142857*6=857142

[axpgn]

Non avevo letto il tuo post perché stavo facendo i conti ... ... dopo averlo letto mi sono ricordato di questo fatto, ma non credo che mi sarebbe venuto in mente comunque ...

[desko]

Per axpgn:

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Ad N=8 ci ero arrivato, ma non capisco come da qui passi alla decina di possibili coppie per L e V. Sarebbe già qualcosa, ma avendo i minuti contati e solo carta e penna, speravo di trovare un metodo ancora più efficace.

Per kobeilprofeta: quello che indichi è esattamente la proprietà del numero a cui accennavo nel mio post inaugurale, sfortunatamente in quel momento non mi è venuta in mente.

Ho aperto il topic alla ricerca, se esiste, di un metodo relativamente veloce che faccia a meno di quella proprietà.
Intanto grazie a tutti per l'attenzione.

[axpgn]

Beh, in dieci minuti, massimo un quarto d'ora si fa (l'ho fatto ... )

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Ho detto anche che $\text(VERLAN)$ è divisibile per quattro (e $\text(LANVER)$ per tre), da cui si ricavano un paio di informazioni:

- $A={0,2,4,6}$

- $\text(VERLAN)$ è i quattro terzi di $\text(LANVER)$ perciò le coppie $L, V$ possibili sono nove: $(2,3), (3,4), (3,5), (4,5), (4,6), (5,6), (5,7), (6,9), (7,9)$

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Un altro possibile percorso:

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VERLAN*3=LANVER*4 equivale a $ 3000x+3y=4000y+4x $ da cui $ 2997x=3997y $, $ MCD(2996,3997)=7 $ e quindi $ 428x=571y $.
L'informazione R=1 è superflua.

Ciao

[desko]

Grazie delle risposte.
in quella di axpgn mi manca un passaggio no chiarissimo, approfondirò nei prossimi giorni; quella di orsolux l'avevo tentata, ma non ero arrivato alla considerazione dell'MCD, non ci avevo pensato subito perdendo tempo su altre piste.
Mi insospettisce il fatto di avere un'informazione superflua; probabilmente chi ha preparato il testo aveva in mente un metodo differente.
Grazie ancora a tutti; ora mi dovrò allenare per la finale.

[marmi]

Ciao,
avevo risolto così (non alla gara, mi han passato i testi).

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$N=8$
Il prossimo sistema vale "modulo 10":
$3A+2=4E$
$4A+3=3E$
quindi
$A+1=-E$
$A=9-E$
Sostituendo nella prima
$29=7E$ sempre modulo 10
Da cui $E=7, A=2$.
E similmente trovo L e V.

Ciao,
Marmi