Permutare una matrice quadrata di valori e numero di permutazioni possibili

[dracoscrigno]

se ho ben capito gia con una matrice di grado 6 siamo al limite. da grado 7 in poi, un risolutore diventa improponibile.
Lo affermo pensando ad un algoritmo che macina dalla prima all ultima mayrice ed il caso vuole che il risultato sia tra le ultime.

ma.

quello che non mi è chiaro è la formula per determinare $r_n$

seguendo i link a fondo pagina, alla voce formula, non arrivo mai ad una formula definitiva ma in un circolo vizioso che ritorna alla stessa pagina dove, per conoscere $r_n$ devo conoscere tutte le permutazioni possibili e, per conoscere tutte le permutazioni possibili, devo conoscere $r_n$.

... cosa mi sfugge?

[axpgn]

Niente ... non esiste la formula per determinare $R_n$, si deve contare ... è per quel motivo che sono fermi a $R_11$ ... (io non sono ancora riuscito a contare quante sono le sue cifre ... )

[dracoscrigno]

si guadagna qualcosa se mi metto di buona lena per $r_11$?

a questo punto direi che posso procedere ad un algoritmo che, sistematicamente, le passi tutte.
a "carta e penna" mi par d aver trovato un sistema interessante per trovare i quadrati principali.
quelli che, se ho ben capito, danno tutte le combinazioni attraverso la permutazione delle righe e delle colonne.

sempre se ho capito:
$r_n$ sono i quadrati principali
$n!$ sono la loro permutazione sulle colonne (o le righe)
$(n-1)!$ sono le matrici qui sopra permutate per le righe (o le colonne)

[axpgn]

si guadagna qualcosa se mi metto di buona lena per $r_11$?

La fama! (o la fame?)

sempre se ho capito:
$ r_n $ sono i quadrati principali
$ n! $ sono la loro permutazione sulle colonne (o le righe)
$ (n-1)! $ sono le matrici qui sopra permutate per le righe (o le colonne)

Sostanzialmente sì, però si tratta di capire cosa intendi per "quadrati principali" ... quello che ha le idee chiare però è orsoulx

Cordialmente, Alex

[superpippone]

Devo dire che mi sono un po' perso.
Ma per un quadrato 4x4 quante sono le possibilità? $576$?

In un altro post io avevo trovato il risultato di $384$.
Vero che si parlava di sudoku, ma mi sembra sia la stessa cosa......

[orsoulx]

@superpippone:
le regole del sudoku prevedono un'ulteriore condizione; per il 4 per 4 credo sia: in ogni quadrato 2 per 2 d'angolo devono comparire tutti i quattro numeri. Condizione che riduce il numero di possibilità. Per il 4 per 4 il conto mi torna. Da una configurazione valida se ne può ottenere un'altra permutando i quattro numeri. Sarà allora $ s_4=4! * r_n $, dove $ r_n $ è il numero dei sudoku ridotti, cioè quelli che hanno, nell'angolo in alto a sinistra i numeri $ ((1,2),(3,4)) $. Allora quello in alto a destra dovrà avere $ 3 $ e $ 4 $ nella prima riga e $ 1 $ e $ 2 $ nella seconda: quattro modi diversi possibili. Analogamente quello in basso a sinistra dovrà avere $ 2 $ e $ 4 $ nella prima colonna e $ 1 $ e $ 3 $ nella seconda: altri quattro modi diversi possibili. Il quadrato in basso a destrà risulta allora determinato. Quindi $ s_4=4! * 4 * 4 =384 $.
Ciao

[superpippone]

Ehhhhhh....
Mi sono reso conto in seguito di avere scritto una baggianata!
In effetti nel sudoku 4x4, bisogna tenere conto della "costruibilità" dei 4 quadratini 2x2.
Mi scuso.

[orsoulx]

Mi scuso.

Ti pare il caso?
Ciao

[dracoscrigno]

io mi son messo di buona lena ed ho scritto la colonna delle 24 permutazioni di $(1,2,3,4)$

poi ho preso una delle 6 permutazioni che comincian con $1$ ed ho vercato tutte quelle che comincian con $2$ che soddisfacessero il vincolo dell essere differenti per colonna.

ho reiterato il processo, quindi, per sei volte.

alla fine ho trovato 18 quadrati.

secondo me, $r_n$ dovrebbe essere questo numero di quadrati trovati.

... perchè non ne trovo 24, ma 18?

[axpgn]

A quale quadrato ti riferisci? $n=4$ o $n=5$ ?

Comunque se $n=4$ allora $R_4=4$ e i quattro quadrati "principali" (o meglio "ridotti") da permutare $4!*3!$ volte ($4!$ le colonne e $3!$ le restanti tre righe) sono quelli nella forma $((1,2,3,4),(2,*,*,*),(3,*,*,*),(4,*,*,*))$ e cioè $((1,2,3,4),(2,1,4,3),(3,4,1,2),(4,3,2,1))$, $((1,2,3,4),(2,1,4,3),(3,4,2,1),(4,3,1,2))$, $((1,2,3,4),(2,3,4,1),(3,4,1,2),(4,1,2,3))$, $((1,2,3,4),(2,4,1,3),(3,1,4,2),(4,3,2,1))$.

Se $n=5$ allora $R_5=56$ però te li costruisci tu ... ... (oppure li chiedi gentilmente a orsoulx che li ha trovati tutti ... )