Sequenza di numeri

[mklplo]

Salve,spero di aver scelto la giusta sezione,premetto che non un problema di cui già conosco la soluzione e quindi sarei curioso di vedere come lo risolvereste voi.Il problema è questa sequenza è illimitata o "l'ultimo termine" è una quantità finita e se sì quale?
Ecco la sequenza:
\( 1,5,7,8,........ \)

La soluzione che ho trovato è questa:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Si noti che \( a_n=a_{n-1}+2^{3-n} \) e da qui si trova che \( a_n=a_0+\sum_{k=1}^{n}2^{3-k} \),e eseguo i seguenti passaggi: \( a_{\infty}=lim_{n\rightarrow \infty} a_n=lim_{n\rightarrow \infty}a_0+\sum_{k=1}^{n}2^{3-k}=lim_{n\rightarrow \infty}8+\sum_{k=1}^{n}2^{-k}=9 \)

[axpgn]

Ma, sai, quattro numeri in sequenza non definiscono una legge "unica" ... puoi proseguire come vuoi, va sempre bene ... per esempio quella potrebbe proseguire così ... $8,5$ , $8,75$ , $8,875$, ecc.

[mklplo]

effettivamente hai ragione,è che pensavo diventasse fin troppo semplice se avessi scritto più numeri,tuttavia come fai notare tu si possono ricavare molte leggi che definiscono la sequenza con quattro numeri.

[Erasmus_First]

effettivamente hai ragione,è che pensavo diventasse fin troppo semplice se avessi scritto più numeri,tuttavia come fai notare tu si possono ricavare molte leggi che definiscono la sequenza con quattro numeri.

Perdonate la mia pignoleria!

Una sfilza di numeri che non termina mai (che non ha fine) ma ha un inizio (un numero iniziale) è un concetto (matematico) ben distinto da una sfilza di numeri che non termina mai in entrambi i versi perché non ha fine ma non ha nemmeno inizio!
Esempio tipico del 1° caso è {0, 1, 2, ...} =$NN$; esempio tipico del 2* caso è {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...} = $ZZ$.
Siamo allora cartesiani! [«Idee chiare e distinte!»]. Occorrono parole distinte per intendere il primo o il secondo caso!
Limitandoci alla lingua italiana, ho sempre visto usare "successione" per il 1° caso e "sequenza" per il 2° caso.
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In italiano una sfilza illimitata di numeri che però ha un inizio non si chiama "sequenza" bensì "successione".
Tantomeno è una "sequenza" una n-pla ordinata di numeri (con cardinalità finita).
Quali che siano in inglese i significati di "sequence", preciso che l'unico significato della parola "sequenza" in ambito matematico che mi hanno insegnato all'università (Ingegneria, Padova 1955-1960) è lo stesso che ho visto usare (ed usato io stesso) in ambito "telecomunicazioni" negli anni '60 e '70 (in tutti gli articoli in italiano in cui mi sono imbattuto quando lavoravo in "Ricerca e Sviluppo" appunto in "Telecominicazioni").
Una "sequenza", a differenza di una "successione", non ha un inizio!
Formalmente:
• Una "successione" è un insieme di numeri ${a_n}$ in corrispondenza biunivoca con l'insiieme dei naturali $NN$,
• Una "sequenza" è un insieme di numeri ${s_n}$ in corrispondenza biunivoca con l'insiieme degli interi [relativi] $ZZ$.
In ogni successione ogni termine ha un predecessore ed un successore TRANNE IL TERMINE INIZIALE che ha il successore ma non ha il predecessore.
In ogni sequenza ogni termine ha un predecessore ed un successore, non c'è il termine iniziale.
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In ogni successione il termine "corrente" – diciamolo $a_n$ – è una funzione di dominio $NN$.
Per esempio, restando nel campo dei numeri reali, sia: $a_0=0$ ∧ ∀$n ∈ NN$ $a_(n+1) = sqrt(a_n+1)$, ossia:
∀$n ∈ NN$ $a_n= sqrtn$.
In ogni sequenza il termine "corrente" – diciamolo $s_n$ – è una funzione di dominio $ZZ$.
Per esempio,, sia: $s_0=s_1 =1$ ∧ ∀$n ∈ ZZ$ $s_(n+2)=s_(n+1)+s_n$.
NB: ∀$n ∈ ZZ$ $s_(n+2)=s_(n+1)+s_n$ ⇔ ∀$n ∈ ZZ$ $s_(n-2)=s_n - s_(n-1)$.
[Sequenza di Fibonacci]
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[mklplo]

Scusa se non ho usato una nomenclatura corretta,ma onestamente non ne ho mai fatta distinzione,anche se andrebbe fatta.Ora avrei un piccolo appunto tu hai detto:

[mklplo]

Scusa se non ho usato una nomenclatura corretta,ma onestamente non ne ho mai fatta distinzione,anche se andrebbe fatta.Ora avrei una domanda tu hai detto:

• Una "successione" è un insieme di numeri $ {a_n} $ in corrispondenza biunivoca con l'insiieme dei naturali $ NN $,
• Una "sequenza" è un insieme di numeri $ {s_n} $ in corrispondenza biunivoca con l'insiieme degli interi [relativi] $ ZZ $.

ma $NN$ e $ZZ$,avendo la stessa cardinalità,non sono in corrispondenza biunivoca?
e quindi se una collezione è in corrispondenza biunivoca con uno,non dovrebbe essere anche con l'altro?

[axpgn]

Bella domanda ...

In effetti, volendo, puoi farlo, però vedila sotto quest'altro aspetto ...

Considera "successioni" e "sequenze" come funzioni ... allora le prime avranno come dominio $NN$ mentre le seconde $ZZ$

Cordialmente, Alex

[mklplo]

grazie,così è più chiaro.

[Erasmus_First]

[...]
Ma $NN$ e $ZZ$, avendo la stessa cardinalità, non sono in corrispondenza biunivoca?
E quindi se una collezione è in corrispondenza biunivoca con uno ,non dovrebbe essere anche con l'altro?

Occhio mklplo !
Successiioni e sequenze sono insiemi "ordinati".
[Ripeto ancora il motto cartesiano: «Idee chiare e distinte!»]
Un conto è la possibilità di corrispondenza biunivoca tra due insiemi A e B, (in particolare tra $NN$ e $ZZ$), un altro (ben distinto dal primo) è una corrispondenza biunivoca effettivamente "instaurata" tra i due insiemi A e B.
Per fissare le idee ti faccio un esempio terra-terra.
Consideriamo gli insieme A = {11, 12. 13. 14. 15} e B = {21, 22, 23, 24, 25}. Siccome A e B hanno entrambi cardinalità 5 è senz'altro possibile porli in corrispondenza biunivoca. Ma ... ancora una tale corrispondenza non c'è, (non è ancora stata "instaurata").
E sono possibili ben 5! = 120 "corrispoindenze biunivoche" distinte!
Prendiamone una: per esempio, dopo aver ordinato a piacere A (che diventa una delle 120 possibili sue permutazioni, diciamiola ${a_n}$), poniamo $b_n = 10 + a_n$ (dove $n$ è intero tra 0 e 4 inclusi). Allora ${b_n}$ è una permutazione dell'insieme B. Vedi che la corrispondenza, una volta instaurata, prescinde dall'ordine dato ad A, e tuttavia per ogni ordinamento di A impone a B un corrispondente ordinamento (pure in "corrispondenza biunivoca" con l'ordinamento di A).
Data una successione arbitraria, è vero che, scegliendo una precisa corrispondenza biunivoca tra $NN$ e $ZZ$, puoi trasformare la successione in una sequenza.
[Per esempio, se $z$ indica un intero relativo (un elemento di $ZZ$) ed $n$ un naturale (un elemento di $NN$) prendiamo $z=0$ quando è $n=0$ e poi, per ogni $n$ intero positivo, se $n$ è dispari prendiamo $z=(n+1)/2$ e se $n$ è pari prendiamo $z=-n/2$. Infine, data la successione ${a_n}$, per ogni $n$ appartenete ad $NN$ poniamo $s_z = a_n$].
Ma la sequenza che ottieni, ordinata come $ZZ$, non solo non avrà fine, ma non avrà nemmeno inizio. Insomma: hai distrutto la successione di partenza generando in sua vece una "sequenza"!
Questa, pur essendo un ordinamento del medesimo insieme della successione da cui deriva, è una struttura ben diversa da quella successione
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[mklplo]

grazie,penso di aver capito(si vede che devo ancora leggere il libro riguardante la teoria degli insiemi che mi fu consigliato).