Geometria semplice

[teorema55]

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Non ho ancora letto nulla. Sparo

$11.057$

Ho usato Cartesio.

[teorema55]

Adesso che vi ho letti, il metodo più semplice mi sembra il mio:

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- la circonferenza grande, con centro in $O(0,0)$, ha raggio $\sqrt370$
- quella intermedia, con centro in $B$, ha raggio $\sqrt116$
- costruisco il triangolo (in realtà due) disegnando la circonferenza, sempre con centro in $O$ e raggio $\sqrt74$.

I punti $C$ e $D$ hanno ordinata rispettivamente $+-1,15$

...........e il gioco è fatto.

OOps, dimenticavo l'immagine

[orsoulx]

.........e il gioco è fatto.

Epperò GeoGebra si potrebbe offendere... Se $ B(sqrt(370),0) $, l'area del triangolo misura esattamente $ 11 $ e l'ordinata di $ C $ è più vicina a $ 1.14 $.
Ciao

[orsoulx]

....ed è facilissimo farlo: disegni un rettangolo e prolunghi i due lati avendo solo l'accortezza che il segmento che unisce gli estremi dei prolungamenti sia esterno al rettangolo (e ovviamente che le misure dei lati e dei prolungamenti siano intere ...

Quel che affermi non mi piace, tanto dal punto di vista di chi deve formulare il problema, quando da quello del solutore.
Chi vuole proporre il problema non si preoccupa di rettangoli con lati da prolungare. Prende tre punti con coordinate intere, calcola le distanze reciproche, e le scrive.

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Chi prova a risolverlo, una volta che la trisavola, in sogno, l'abbia avvisato che quel triangolo può esser sistemato in modo che i suoi vertici abbiano coordinate intere, scompone (a fatica o meno: dipende da quanto sono grandi i numeri e dalla sua dimestichezza con i quadrati) i radicandi in somme di quadrati, avendo l'accortezza di controllare che le basi di quelli di un lato siano somme/differenze di quelle dei restanti due; a questo punto il rettangolo con prolunghe non gli serve.
Se il triangolo è piccolino, come ho detto prima, conta i puntini; se è grande usa il prodotto vettoriale di due vettori lati qualsiasi.
$ 10 cdot 5-4 cdot 7=22 $ e ottiene il doppio dell'area in maniera molto più rapida.

Ciao

[orsoulx]

Dimenticai la soluzione del secondo esempio:

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L'area è 100 e, a mio avviso, è comodo trovarla come somma dei tre quadrati, del triangolo di partenza e di un secondo triangolo equivalente alla somma dei tre aggiunti per ottenere la convessità.

Ciao

[axpgn]

@teorema55

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Premesso che il concetto di "semplicità" è molto opinabile non sono tanto d'accordo con te ... ... per esempio, disegnare tre cerchi dal raggio irrazionale non è facile (a meno di usare strumenti automatici ma allora è tutto più semplice ... )
L'immagine che ho postato non è indispensabile per la soluzione, l'ho messa per chiarire ...
Il metodo è questo: notato che $370=17^2+9^2, 116=10^2+4^2, 74=7^2+5^2$ ed anche che $17=10+7, 9=4+5$ allora l'area del triangolo cercato è $2A=17*9-10*4-7*5-2*7*4$

Cordialmente, Alex

[axpgn]

@orsoulx

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... Quel che affermi non mi piace, ...

Probabilmente non mi sono fatto capire ...
Quello era solo un esempio "pratico" di come sia facile costruire un problema del genere, ancor più semplicemente basta prendere quattro interi (da usare come cateti) ...
Per i solutori, quando i conti si facevano a mano, era molto probabile imbattersi in problemi formati in questo modo perciò la tecnica di scomporre le aree in somme di quadrati era spesso quella vincente e neanche troppo laboriosa ...

Per quanto riguarda il secondo problema, sono d'accordo sul sommare i vari pezzi però il succo del problema consiste nel come trovare le aree incognite ... ovviamente, come nel primo, i modi sono vari, io ne avrei uno che mi pare simpatico

Cordialmente, Alex

[teorema55]

@teorema55

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... per esempio, disegnare tre cerchi dal raggio irrazionale non è facile (a meno di usare strumenti automatici ma allora è tutto più semplice ... )

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Così come disegnare un triangolo con lati irrazionali

Ciao!

[axpgn]

Assolutamente no!

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Fissi i tre punti $(17,0), (0,9), (7,4)$ e tracci i segmenti che li unisce ... più semplice di così ... inoltre, l'ho detto, il disegno non serve ...

[orsoulx]

Probabilmente non mi sono fatto capire ...

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Non direi: se uno riesce a superare le cortine fumogene dello zompare fra geometria e algebra, mi pare siamo in sintonia.
Non l'ho introdotto io il discorso che fa perno sul rettangolo a lati allungati.
Comunque [punto di vista squisitamente personale], abituato a fare i calcoli a mano, seguiterei, tranne in casi ridicolmente semplici, ad utilizzare il 'quasi' Erone: $ sqrt(a)<=sqrt(b)<=sqrt(c) rightarrow A=sqrt( (ac)/4-((c-(b-a))/4)^2)$.
Che, per il secondo esempio, diventa: $ A=4sqrt(9*13-6^2)+18+20+26=100 $.
Quale approccio fosse congeniale agli antenati non lo so.

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Il suggerimento che proponi in "Quanti rettangoli in un rettangolo" non mi pare rispondente alla formulazione del problema

Ciao