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Se ho \(\displaystyle n \) punti ho che le combinazioni a 2 a 2 sono finite, allora deve esistere \(\displaystyle m \) t.c. \(\displaystyle mx1+y1 < mx2+y2 < .... \) dove tutte le disuguaglianze sono strette, perché se \(\displaystyle m \) indica la direzione di una retta, ed \(\displaystyle m \) lo posso scegliere in un insieme infinito ho che deve esserci un \(\displaystyle m \) per cui il fascio di rette improprio non ha nessuna retta che passa per 2 punti. A questo punto per la densità di R e il fatto che le disuguaglianze sono strette, so che esiste un \(\displaystyle A \) il cui valore é strettamente maggiore di un certo \(\displaystyle mxi +yi \) e strettamente minore di \(\displaystyle mxj +yj \) che posso scegliere in modo arbitrario. La retta \(\displaystyle mx + y = A \) divide i punti in \(\displaystyle i \) punti da una parte e \(\displaystyle j \) dall'altra, se scelgo \(\displaystyle i = n/2 \) ho finito.