Rettangoli e Interi

Messaggioda axpgn » 17/12/2018, 17:27

Premessa: nella sezione di "Analisi" hanno postato un quesito che avevo intenzione di mettere qui (prima o poi).
Lo scrivo comunque perché mentre di là lo stanno risolvendo con integrali, tra le varie modalità di risoluzione ve n'è una che trovo molto carina e semplice. :D

Un grande rettangolo è suddiviso in tanti rettangoli più piccoli, ciascuno dei quali ha almeno uno dei due lati (o entrambi) di misura intera.
Dimostrare che anche il rettangolo grande ha la stessa proprietà (cioè ha almeno uno dei due lati di misura intera (o entrambi)).

Cordialmente, Alex
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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda axpgn » 22/01/2019, 21:04

Non ci prova nessuno? :D
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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda Settevoltesette » 16/02/2019, 18:05

Io vorrei vedere una dimostrazione di questo problema, lo conoscevo già da un po' ma non ho mai visto una dimostrazione. Magari in spoiler? O:)
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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda axpgn » 16/02/2019, 22:48

Come detto nel post di apertura, nella sezione di Analisi lo hanno risolto tramite integrali
Quindi, se proprio ti interessa UNA soluzione, puoi vedere di là :-D
Comunque, questa che propongo io è mooolto più carina :lol: (e ovviamente è anche decisamente più semplice, altrimenti non l'avrei mai trovata :-D )
Ma c'è anche altro ... :wink:

Abbi ancora un po' di pazienza ... :D ... magari per Carnevale ... :-D

Cordialmente, Alex
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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda andomito » 18/02/2019, 10:49

ci provo
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ammettiamo per assurdo che il grande rettangolo abbia lati non interi Lo e Ho. Consideriamo i suoi bordi chiamandoli nord est sud ovest.
Sul bordo nord giaceranno un certo numero di lati interi di rettangolini, ma almeno un lato La non intero di un rettangolino.
Tale rettangolino avrà una altezza Ha intera, conseguentemente a lui si dovranno affiancare un certo numero di rettangolini di altezza complessiva Hb non intera per arrivare al bordo est. La massima larghezza dei rettangolini con altezza complessiva Hb, sarà Lb, intera. A questo punto per giungere al lato sud mancano un certo numero di rettangolini, di larghezza complessiva non intera Lc. La massima altezza di tali rettangolini è Hc (intera), e in corrispondenza di tale altezza dovranno affiancarsi a loro altri rettangolini di altezza complessiva Hd (non intera) e larghezza massima Ld (intera)
ovviamente La+Ld=Lb+Lc e Ha+Hb =Hc+Hd.
A questo punto dentro il grande rettangolo ho individuato un'area residua (certamente non interessata dai rettangolini a,b,c, d) di lato Lo - (Lb-Ld) e altezza Ho -(Ha+Hc), entrambi non interi.
Applicando ricorsivamente il metodo avrò che in ogni caso avrò un'area rettangolare con lati non interi che mi rimane da coprire.
Pertanto con un numero finito di rettangolini che hanno almeno un lato intero non potrò coprire tutto il rettangolo con lati non interi.
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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda axpgn » 18/02/2019, 13:23

... mmmm ... non mi convince

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
A me sembra che fai delle assunzioni arbitrarie ... per esempio ...
andomito ha scritto:Tale rettangolino avrà una altezza Ha intera, conseguentemente a lui si dovranno affiancare un certo numero di rettangolini di altezza complessiva Hb non intera per arrivare al bordo est. La massima larghezza dei rettangolini con altezza complessiva Hb, sarà Lb, intera.

Perché deve essere affiancato da rettangolini di una certa altezza non intera? Può essere affiancato da rettangolini qualunque ... perché tratti i rettangolini che affiancano quello alto $H_a$ fino all'altro bordo come fossero tutti della stessa altezza complessiva? Non è detto né necessario che la configurazione sia così fatta ... e così via ... IMHO


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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda Settevoltesette » 19/02/2019, 14:33

Ci provo, ma non ci ho ragionato molto, é più una risposta a naso.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
chiamo cammino un qualsiasi percorso che parte dalla base o dal lato verticale ed arriva al lato parallelo percorrendo i vari lati dei rettangoli più piccoli. Nessun cammino può essere intero, se i lati del rettangolo grande non sono interi, ma se ogni rettangolino ha almeno un lato intero significa che almeno un cammino deve essere intero perché altrimenti avrei che almeno tutto un lato parallelo alla base ed uno parallelo al lato verticale deve essere formato da rettangoli non interi e nell'intersezione avrei che almeno un rettangolino ha base ed altezza non interi.
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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda axpgn » 19/02/2019, 14:50

@Settevoltesette
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Settevoltesette ha scritto:Nessun cammino può essere intero, se i lati del rettangolo grande non sono interi, …

Non mi pare … se parti da un vertice e arrivi a quello opposto senza mai tornare indietro, allora se i lati (del rettangolo grande) sono, per esempio, $L=7/2$ e $H=3/2$, l'intero cammino è lungo $5$.
Il resto, a dir la verità, non l'ho compreso bene …


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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda Settevoltesette » 19/02/2019, 14:58

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Si ma il cammino é lungo i lati dei rettangoli più piccoli quindi si può andare in linea retta solo verticalmente ed orizzontalmente.
Per il restante dico che se non ho cammini interi allora esiste tutto un tratto verticale almeno fatto da rettangoli con lato non intero ed uno orizzontale uguale, anche non contigui, nell'intersezione devo avere un rettangolo con almeno tutti i lati non interi
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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda gabriella127 » 19/02/2019, 15:06

Deve essere vero qualsiasi sia il numero di rettangoli, no?
"Per consolarti, o povera anima mia, ripeti:
il quadrato costrutto sovra l'ipotenusa
è la somma di quelli fatti su i due cateti".
(Ernesto Ragazzoni)
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