Handshake

[axpgn]

Dimostrare che le persone che hanno stretto la mano ad un'altra persona un numero dispari di volte sono in numero pari.

Cordialmente, Alex

[andomito]

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Detto n il numero di persone presenti, l'handshaker stringerà le mani a tutti tranne che a se stesso, ovvero a n-1 persone.
Perciò se n è pari stringerà un numero di mani dispari.

Così semplice o c'è un trucco?

[andomito]

e generalizzando

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per n pari, se qualcuno del gruppo non stringe la mano all'handshaker, sia lui che l'handshaker sono fuori (stringono un numero di mani pari) lasciando dispari il numero di persone che si stringono le mani. Se un'ulteriore persona non stringe le mani all'handshaker, sono ancora due (stavolta i renitenti) gli esclusi dal computo, e quindi il numero di persone che si stringono le mani è sempre pari, e il numero di strette sempre dispari.

[axpgn]

C'è un malinteso: non mi sto riferendo ad un gruppo di persone particolare o ad una persona precisa ma a tutte le persone del mondo partendo dalle prime due che si sono strette la mano millenni fa e a tutte le strette di mano

Cordialmente, Alex

[andomito]

C'è un malinteso: non mi sto riferendo ad un gruppo di persone particolare o ad una persona precisa ma a tutte le persone del mondo partendo dalle prime due che si sono strette la mano millenni fa e a tutte le strette di mano

Cordialmente, Alex

l'avevo intuito, per questo ho aggiunto il "generalizzando" dal quale si ricava quanto richiesto: qualunque coppia di strette di mano si sottragga all'insieme di tutte le possibili, il risultato non cambia in termini di parità.

[axpgn]

Sinceramente il tuo ragionamento (precedente a questo) non l'ho capito
Potresti riformularlo? Grazie

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

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Supponiamo di partire dalla prima stretta di mano della storia, quella tra Tizio e Caio. Ognuno ha stretto una mano una sola volta, e sono due, quindi il numero di quelli che hanno stretto le mani in numero dispari è pari.
Ora supponiamo che si aggiungano via via altre strette di mano (quante se ne vuole e con chiunque, tra altre persone o anche con Tizio e Caio, nuove persone, bambini che nascono e stringono mani etc.).
Ogni volta che c'è una nuova stretta di mano il numero di stringitori dispari (coloro che hanno stretto la mano in numero dispari) o non varia o varia di due unità, quindi resta pari.
Infatti, se si stringono la mano due stringitori dispari diventano entrambi pari, e quindi c'è una diminuzione di due del numero. Viceversa, se si stringono la mano due stringitori pari, diventano entrambi dispari e quindi c'è un aumento di due.
Se si stringono la mano un 'pari' e un 'dispari', uno diventa pari e l'altro dispari e quindi non c'è variazione.
(convenzionalmente intendo 0 strette come pari)

[axpgn]

Perfect!

[gabriella127]

Grazie Alex, era carino il problema.

[andomito]

Sinceramente il tuo ragionamento (precedente a questo) non l'ho capito
Potresti riformularlo? Grazie

Cordialmente, Alex

Il mio ragionamento è simile a quello di Gabriella, ma parte dallo scenario opposto (tutti stringono le mani a tutti)

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Diciamo n il numero totale di potenziali stringitori di mani esistito nella storia.
se ciascuno di essi stringe la mano a ciascuno degli altri avremo che ciascuno ha fatto n-1 strette di mano. Quindi se n è pari ciascuno avrà stretto un numero le mani a n-1 persone, ovvero ad un numero dispari.
Se una stretta di mano non è avvenuta, i due "renitenti" (pari) che hanno evitato tale stretta avranno effettuato n-2 strette di mano (pari) mentre i rimanenti n-2 soggetti (pari) continueranno ad aver effettuato n-1 strette (dispari).
Se una ulteriore stretta non è avvenuta coinvolgendo uno dei due precedenti "renitenti", avremo che quest'ultimo avrà effettuato n-3 strette (dispari), andando a rimpiazzare nel totale (pari) degli handshaker di un numero dispari di mani colui il quale non gli ha stretto la mano, rispetto allo scenario precedente.
E così via… eliminando le strette non effettuate una per una posso raggiungere qualunque configurazione, ma sempre ottenendo un numero pari di strette sia tra chi ha stretto un numero dispari di mani, sia tra chi ha stretto un numero pari di mani.
Se n è dispari il computo è analogo, ma in questo caso rimarrà sempre dispari il numero di chi ha stretto un numero pari di mani, e pari chi ne ha stretto un numero dispari.

Corollario: dimmi se le persone che nella storia hanno stretto le mani ad un numero pari di altre persone è pari o dispari, e io ti dirò se le persone vissute nella storia sono pari o dispari.