da yurifrey » 19/08/2007, 12:43
Provo a spiegare la mia idea che mi porta a concludere l'esistenza di 26 momenti in cui l'orologio segna l'ora esatta.
Immaginandoci di sovrapporre due orologi di cui uno gira in senso orario l'altro in senso antiorario (supponiamo le lancette tutte uguali), notiamo che, affinché quello antiorario segni la stessa ora di quello orario (ovvero l'ora esatta) occorre che la lancetta dei minuti si sovrapponga a quella delle ore e viceversa. Infatti le lancette dei minuti si sovrappongono solo alle 12 e alle 6 di tutte le ore, ma le lancette delle ore, di questi ventiquattro momenti sono sovrapposte solo alle 12.
La prima soluzione è dunque, come ci si poteva immaginare l'ora 00.00.00.
A questo punto dobbiamo trovare le intersezioni fra una lancetta delle ore (supponiamo wlog che sia quella dell'orologio antiorario data la perfetta simmetria) e una dei minuti (quella dell'orologio orario).
Disegniamo la funzione della lancetta delle ore dell'orologio antiorario ($y=12-x$) e quella dei minuti dell'orologio orario ($y=12x$ per la prima ora, $y=12x-12$ per la seconda, $y=12x-12k$ per la k-esima ora e così fino a 12). Troviamo che i punti di intersezione hanno ascissa pari a $(12k)/13$, con k che varia da 0 a 12 (in realtà il primo caso è già stato esaminato). Dopodiché è sufficiente trasformare il valore ottenuto in ore minuti e secondi e considerare che ciò che si verifica nelle prime 12 ore accade anche nelle altre 12 ore.
Troviamo così le soluzioni:
00.00.00
00.55.23
01.50.46
02.46.09
03.41.32
04.36.55
05.32.18
06.27.41
07.23.04
08.18.27
09.13.50
10.09.13
11.04.37
12.00.00
00.55.23 pm
01.50.46 pm
02.46.09 pm
03.41.32 pm
04.36.55 pm
05.32.18 pm
06.27.41 pm
07.23.04 pm
08.18.27 pm
09.13.50 pm
10.09.13 pm
11.04.37 pm