Quanto misura l'angolo x?

[retrogamer_80]

Quanto misura l'angolo x?

[axpgn]

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È il "reverse" di questo

Cordialmente, Alex

[axpgn]

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$x=40°$

[retrogamer_80]

Si, x=40°.
lavorando con Geogebra ho intuito e poi verificato che la soluzione x=40° funziona.
Ma non ho una dimostrazione di tipo sintetico, alla "Euclide" per intenderci.

[sellacollesella]

Di "elegante" o "sintetico" non ha nulla, è solo un modo per dimostrarlo.

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Fissato un sistema di riferimento cartesiano \(Axy\), si consideri il triangolo isoscele di vertici: \[
A\left(0,\,0\right),
\quad \quad \quad
B\left(b,\,0\right),
\quad \quad \quad
C\left(\frac{b}{2},\,\frac{b}{2}\,\tan(\alpha)\right)
\] dove \(b>0\) è la lunghezza della base e \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) è l'ampiezza degli angoli alla base.


Quindi, considerato un punto di coordinate: \[
D = A + (C - A)\,t\,,
\quad \quad \quad
\text{con} \; \; 0 < t < 1
\] ne consegue che: \[
||D-B|| = ||B-A||
\quad \Leftrightarrow \quad
t = 0 \quad \vee \quad t = 4\cos^2(\alpha)
\] ove è accettabile solamente la seconda radice a patto che \(\frac{\pi}{3} < \alpha < \frac{\pi}{2}\).

Pertanto, si ottiene il punto di coordinate: \[
D\left(2\,b\cos^2(\alpha),\, b\sin(2\,\alpha)\right).
\]
Analogamente, considerato un punto di coordinate: \[
E = B + (C - B)\,t\,,
\quad \quad \quad
\text{con} \; \; 0 < t < 1
\] ne consegue che: \[
||E-C|| = ||D-A||
\quad \Leftrightarrow \quad
t = 1+4\cos^2(\alpha) \quad \vee \quad t = 1-4\cos^2(\alpha)
\] ove è accettabile solamente la seconda radice a patto che \(\frac{\pi}{3} < \alpha < \frac{\pi}{2}\).

Pertanto, si ottiene anche il punto di coordinate: \[
E\left(\frac{b}{2}\left(1+4\cos^2(\alpha)\right),\, \frac{b}{2}\left(1-4\cos^2(\alpha)\right)\tan(\alpha)\right).
\]
In conclusione, se \(0 < \beta < \frac{\pi}{2}\) è l'ampiezza dell'angolo \(BDE\), allora deve valere l'uguaglianza: \[
\cos(\beta) = \frac{(B-D) \cdot (E-D)}{||B-D||\,||E-D||}
\quad \Leftrightarrow \quad
\alpha = \dots
\] e qui, invece di aver bello che concluso, si aprono le danze dei conti ... e che conti!


In particolare, sbrogliando quel gomitolo di equazione e ponendo \(z \equiv \cos^2(\alpha)\) si perviene a: \[
p(z) := z^{\color{red}{5}} - 2\,z^4 +\frac{9+2\cos^2(\beta)}{8}z^3 -\frac{2+5\cos^2(\beta)}{16}z^2 + \frac{1+16\cos^2(\beta)}{256}z - \frac{\cos^2(\beta)}{256} = 0
\] che è una bella equazione polinomiale di quinto grado rispetto a \(z\) non riducibile ... un bel guaio!

D'altro canto, nulla di impossibile, posto \(\beta = \frac{5\,\pi}{18}\) i coefficienti di quel polinomio monico sono noti.

Quindi, imposte le radici di primo tentativo nel seguente modo:
\[
z_k = \cos(2\,k\,\pi/{\color{red}{5}})+ \text{i}\,\sin(2\,k\,\pi/{\color{red}{5}})
\quad \quad \text{con} \; k = 1,2,3,4,\color{red}{5}
\] basta aggiornarle tramite il metodo di Aberth-Ehrlich:
\[
z_k' = z_k - \left(\frac{p'(z_k)}{p(z_k)} - \begin{aligned}\sum_{j=1;\,j\ne k}^{\color{red}{5}}\end{aligned}\frac{1}{z_k-z_j}\right)^{-1}
\] iterando finché si raggiunge la precisione desiderata (in genere, bastano meno di dieci iterazioni).

A conti fatti, si ottengono le seguenti radici: \[
z_1 = 0.0696252 + 0.116745\,\text{i}\,,
\quad
z_2 = 0.0696252 - 0.116745\,\text{i}\,,
\quad
z_3 = 0.116978 + 0\,\text{i}\,,
\quad
z_4 = 0.755866 + 0\,\text{i}\,,
\quad
z_5 = 0.987906 + 0\,\text{i}
\] tra le quali l'unica accettabile è quella tale per cui \(0 < z < \frac{1}{4}\): \[
\cos^2(\alpha) = 0.116978
\quad \Leftrightarrow \quad
\alpha = 1.22173\,\text{rad} = 70°.
\] Pertanto, l'ampiezza dell'angolo \(ACB\) risulta pari a \(180° - 2\cdot 70° = 40°\), come volevasi dimostrare!


P.S.: è evidente che le radici reali siano distribuite sufficientemente distanti; quindi, sapendo a priori che siamo interessati solo alla radice reale tale per cui \(0 < z < \frac{1}{4}\), è sufficiente applicare il metodo di Newton-Raphson innescato con \(z_0 = \frac{1}{8}\). Anche in questo caso, il più delle volte bastano meno di dieci iterazioni!