Ancora nanetti e cappelli.

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7 nanetti vengono rapiti. La strega cattiva gli mette in testa dei cappelli neri o bianchi con probabilità 1/2. Ciascun nanetto vede il colore dei cappelli di tutti gli altri ma non il proprio!
I nanetti dopo aver visto i cappelli di tutti, e senza poter comunicare in alcun modo tra loro, dovranno scrivere su un foglietto personale una delle seguenti tre cose: "Nero", "Bianco" oppure "Non lo so".
I nanetti si salvano se: Almeno un nanetto indovina il proprio colore e nessun nanetto sbaglia il proprio colore.
I nanetti muoiono se: Almeno un nanetto sbaglia il proprio colore oppure se scrivono tutti "non lo so".

Trovare una strategia tale per cui i nanetti si salvano a meno che tutti i cappelli non siano bianchi.

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Fanno come gli gnomi miei quando uscirono dalla grotta

Troppo conciso?


Cordialmente, Alex

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Eh no non possono mica spostarsi

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Mica lo hai scritto

Dai, che è una bella soluzione, ammettilo

Se poi trovo la tua, te lo dico

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E poi non funziona

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Nel tuo infatti riescono a separarsi in due gruppi ma nessuno sa con certezza il proprio colore

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Ci tengo a precisare che evidentemente la strategia è quella ottimale, questo indovinello è risolto solo per alcuni \(n \), come per \(n=7\) ma non si sa se la stessa strategia che funziona per \(7\) e per altri interi, è quella ottimale anche altri \(n\)

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Come non funziona?
Hai detto che basta uno quindi, se non sono tutti dello stesso colore (cosa che hai escluso) uno dei due che sta agli estremi scrive il proprio colore (anzi meglio ancora quelli che stanno al penultimo posto) e gli altri "non so"

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Edit:

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Io ho chiesto una soluzione che funziona sempre tranne nel caso in cui i cappelli siano tutti (wlog) bianchi. In particolare significa che funziona se i cappelli sono tutti neri.
Ovvero la probabilità di successo è di \( \frac{2^7 -1}{2^7} \)

La tua soluzione non funziona perché
Se (wlog) il primo vedesse tutti cappelli bianchi egli non sa di che colore è il suo ma anche se li vedesse tutti neri non sa di che colore è il suo

Mentre con la tua soluzione la probabilità di successo è \( \frac{2^7 -2}{2^7} \)

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La mia soluzione funziona perché se sono tutti neri, il penultimo (da una parte o dall'altra) vede nero sia a destra che a sinistra quindi deduce che il suo sia nero