Ancora nanetti e cappelli.

[axpgn]

Francamente sostenere che fosse evidente mi sembra una forzatura (eufemismo )
Scrivi che dobbiamo trovare una strategia per salvare i nanetti TRANNE in un caso, a me pare evidente dedurre che, tolto quel caso, la strategia per salvarli esiste, certa. IMHO.

[3m0o]

Non vedi che hai detto la stessa cosa mia?
Tranne in un caso su 128 si salvano = probabilita di 127/128 di salvarli

[axpgn]

No, affatto.

Tolto quel caso la probabilità è $1$ quindi esiste sicuramente una strategia che li salva.
Questo dici nel post iniziale.

Poi invece chiedi di trovare una strategia che massimizzi la possibilità di salvarli che però è minore di $1$.

È molto diverso

[3m0o]

No, affatto.

Tolto quel caso la probabilità è $ 1 $ quindi esiste sicuramente una strategia che li salva.
Questo dici nel post iniziale.

Poi invece chiedi di trovare una strategia che massimizzi la possibilità di salvarli che però è minore di $ 1 $.

È molto diverso

No è la stessa cosa! Se ti chiedo di trovare una strategia che tolto un caso su \(128\) la probabilità di riuscita è \(1=127/127\), vuol dire che se includi quel caso allora la probabilità è \(127/128\) e questa pensavo fosse la probabilità ottimale che puoi ottenere con una strategia. In realtà siccome avevo sbagliato a fare i conti, la probabilità ottimale è un altra, ed è meno. Quindi ora ti chiedo di trovare una probabilità ottimale rispetto a tutti e \(128\) casi possibili che è equivalente a dire di trovare una strategia che li salvi tutti con probabilità \(1\) tolti un certo numero di casi possibili.

[axpgn]

Non c'è niente da fare, ci rinuncio ...

[3m0o]

rinunci a cosa? A risolvere l'indovinello o non ho capito

[axpgn]

In quest'ultima risposta ammetti tu stesso che ci hai chiesto di trovare una strategia che li salvasse sicuramente tutti, una strategia che però NON esisteva ( ).

Quando te l'ho fatto notare

Neanche noi!

Ovvero ci hai fatto diventare matti a cercare una strategia per cui TUTTI i nanetti si salvano ed invece volevi solo la massima probabilità con cui TUTTI si salvano

mi hai risposto

Mah... mi sembrava evidente che la domanda era probabilistica ...

Se a te sembra la stessa cosa, va bene, alzo le mani ...

[3m0o]

Mi sa che non ci siamo semplicemente capiti, forse perché mi sono espresso male

Domanda originale

7 nanetti vengono rapiti. La strega cattiva gli mette in testa dei cappelli neri o bianchi con probabilità 1/2. Ciascun nanetto vede il colore dei cappelli di tutti gli altri ma non il proprio!
I nanetti dopo aver visto i cappelli di tutti, e senza poter comunicare in alcun modo tra loro, dovranno scrivere su un foglietto personale una delle seguenti tre cose: "Nero", "Bianco" oppure "Non lo so".
I nanetti si salvano se: Almeno un nanetto indovina il proprio colore e nessun nanetto sbaglia il proprio colore.
I nanetti muoiono se: Almeno un nanetto sbaglia il proprio colore oppure se scrivono tutti "non lo so".

Trovare una strategia tale per cui i nanetti si salvano a meno che tutti i cappelli non siano bianchi.

Ora ti spiego cosa intendevo dire:


Per semplicità di facciamo finta che i nanetti sono 2. Siccome i cappelli vengono messi con probabilità \(1/2\) abbiamo 4 possibili outcomes: (nero,nero), (bianco,bianco), (nero,bianco), (bianco,nero)
I nanetti non sanno in quale tra questi casi si trovano. Il compito originale era trovare una strategia che li salvasse con certezza tranne nel caso in cui i cappelli fossero stati tutti bianchi, ovvero:
-Si salvavano con certezza (probabilità \(1\)) nel caso in cui i cappelli fossero stati (nero,nero), (nero,bianco), (bianco, nero)
-Muoiono con certezza nel caso in cui i cappelli fossero stati (bianco, bianco)!!

Ovvero che dava una probabilità di \(3/4\) che si salvassero tutti! Questa era la probabilità ottimale!
Poi mi sono reso conto che questa strategia non esisteva perché ho sbagliato a fare i conti. Ma la strategia ottimale esiste! Nel caso di 2 nanetti è facile e la probabilità ottimale è \(1/2\) wlog il primo nanetto dice il colore opposto a quello che vede e il secondo nanetto dice non lo so. In particolare significa:
-Si salvano con probabilità \(1\) nel caso in cui i cappelli sono (nero,bianco), (bianco, nero).
-Muoiono con probabilità \(1\) nel caso in cui i cappelli sono (nero,nero), (bianco,bianco).
Ergo probabilità \(1/2\).

Mi sono semplicemente corretto dicendo "ahh la probabilità ottimale non è \(3/4\) scusate ho sbagliato! Cambio la domanda che diviene qual è la probabilità ottimale? Invece di dirvi trovare una strategia che li salvi tutti tranne nel caso in cui i cappelli sono (nero,nero) o (bianco, bianco). Ma non ho fatto questo perché ad elencare i casi in cui non si salvano con 7 nanetti diventa lunga"

[axpgn]

Ho capito da 'mo cosa volevi dire (e anche cosa vorresti sapere ma non sono capace di trovarla ), quello che ti contesto da allora è:

Mah... mi sembrava evidente che la domanda era probabilistica ...

[3m0o]

Beh allora siccome sei l'unico a cui ha risposto mi sa che pubblico la soluzione