The Sleeping Beauty Problem

[axpgn]

A grande richiesta ...

Sleeping Beauty participates in the following experiment.
On Sunday she is put to sleep, and a fair coin is flipped.
Regardless of the result of the coin flip, she is awakened on Monday and asked wheter she thinks the coin was heads or not.
If the coin was tails, however, then she is put back to sleep with her memory erased, and awakened on Tuesday and asked the same question again.
She knows the protocol.
She is awakened one morning: What is her probability that the coin was heads?


Cordialmente, Alex

[gabriella127]

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L'ho appena letto, a prima vista mi sembra evidente che la probabilità è $1/2$, il ragionamento frequentista è specioso e cambia le carte in tavola. Ci devo ripensare, ma al momento non ho il tempo.
C'è proprio qui su Skuola.net un articolo in cui lo propone Antonio Bernardo un po' di anni fa , con alcune risposte. Non lo linko, se no si leggono tutte le risposte.

[3m0o]

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Allora non ho pensato ancora a fondo alla cosa ma in un primo momento direi che
\( P(\text{testa}) =1/2 \) mentre \( P(\text{testa}\mid \text{si è svegliata}) =1/3 \)

[axpgn]

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L'autore del testo che ho riportato è un professore di Matematica al MIT e sostiene che, matematically, il problema è risolto e Wikipedia dovrebbe smetterla di dire che invece è ancora argomento di discussione.
La cosa buffa è che esistono due "partiti", detti degli "halfer" e dei "thirder"
Per la cronaca, il prof del MIT è un "thirder"

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

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Dal testo che ho letto, c'è un solo lancio di moneta all'inizio dei tempi. Almeno così si capisce, anche dal testo di Antonio Bernardo.
Se c'è un solo lancio di moneta all'inizio dei tempi, quello che succede dopo, risvegli, non risvegli, triplo salto mortale, pizza all'angolo, non ha importanza, il lancio di una moneta una sola volta da $1/2$ di probabilità per testa o croce.
Non è che il futuro può cambiare il passato.
Se poi il problema è un altro, va chiarito, può essere come dice 3m0o, bisogna distinguere la richiesta.

[3m0o]

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Non sono d'accordo con te gabriella127, la conoscenza della realizzazione di eventi cambia le probabilità di altri eventi. Supponi che l'esperimento sia leggermente differente, portando al estremo se esce testa allora non la svegliano proprio e se esce croce la svegliano lunedì e martedì allora il fatto che si sia svegliata da certezza a lei che è uscito croce. Quindi non è sorprendente che un valore sia più vicino ad \(1\) di un altro. Anche nel problema originale il punto è che qui si calcola una probabilità condizionata sulla realizzazione del evento che lei si svegli, questo cambia la probabilità a priori ? No! La probabilità che esce testa la domenica prima che la sveglino rimane \(1/2\) ma a posteriori la probabilità condizionata che sia uscito testa sapendo che lei si è svegliata è \(1/3\).

[gabriella127]

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Il punto, 3m0o, è che va specificata bene la domanda qual è. E' quello che crea ambiguità.

[3m0o]

Su questo sono d'accordo, per quello ho risposto come ho risposto nel primo commento

[gabriella127]

Infatti, io sono d'accordo con te, a quello mi riferivo.

[axpgn]

Il testo del problema che ho riportato è quello che ho letto, quello su Wikipedia è il seguente:

Sleeping Beauty volunteers to undergo the following experiment and is told all of the following details:
On Sunday she will be put to sleep.
Once or twice, during the experiment, Sleeping Beauty will be awakened, interviewed, and put back to sleep with an amnesia-inducing drug that makes her forget that awakening.

A fair coin will be tossed to determine which experimental procedure to undertake:
If the coin comes up heads, Sleeping Beauty will be awakened and interviewed on Monday only.
If the coin comes up tails, she will be awakened and interviewed on Monday and Tuesday.
In either case, she will be awakened on Wednesday without interview and the experiment ends.

Any time Sleeping Beauty is awakened and interviewed she will not be able to tell which day it is or whether she has been awakened before.
During the interview Sleeping Beauty is asked: "What is your credence now for the proposition that the coin landed heads?"