Il gioco dei Set

da **3m0o** » 26/12/2022, 16:10

L'altro giorno ho giocato al seguente gioco di carte e mi sono domandato se c'è una strategia ottimale per un giocatore.

Un mazzo di 81 carte è formato nel seguente modo: ogni carta possiede 4 tipi di caratteristica: il colore, la forma, il numero e il riempimento.
Ci sono 3 colori: blu, rosso e verde.
Ci sono 3 tipi di forme: rombo, elisse e rettangolare.
Ci sono 3 tipi di riempimento: vuoto, a righe, e pieno.
Ci sono 3 tipi di numero: 1,2,3

Ogni carta ha solo solo un tipo per ogni caratteristica. Quindi una carta potrebbe avere disegnati ad esempio 2 rombi rossi riempiti a righe. Oppure 3 elissi verdi piene. Oppure 1 rettangolo blu vuoto. Nel mazzo ci sono presenti ogni combinazione possibile per cui $3^4 = 81 $ carte.

SET

Un set è un insieme di 3 carte che hanno la seguente proprietà: Per ciascuna delle quattro categorie di caratteristiche - colore, numero, forma e riempimento - le tre carte devono mostrare quella caratteristica come a) tutta uguale o b) tutta diversa. In altre parole: Per ogni caratteristica, le tre carte devono evitare di avere due carte che mostrano una versione della caratteristica e la carta rimanente che mostra una versione diversa.

Ad esempio l'insieme delle carte: 1 rombo rosso pieno, 2 rombi rossi pieni, 3 rombi rossi pieni è un set perché per la caratteristica dei numeri sono tutte tre differenti (1,2,3) mentre per la caratteristica del colore (tutte e tre rosse) della forma (tutte e tre mostrano dei rombi) e del riempimento sono tutti uguali (sono tutte piene).

Un altro esempio è: 1 rombo verde vuoto, 2 rettangoli blu a righe, 3 elissi piene rosse.
Infatti per i numeri sono tutte e tre differenti (1,2,3), per il colore sono tutte e tre differenti (verde, blu, rosso), le forme sono tutte e tre differenti (rombo, rettangolo elisse) e il tipo di riempimento sono tutte e tre differenti (vuoto, a righe e piene)

Funzionamento
Vengono distribuite sul tavolo 12 carte scoperte e il gioco funziona così: il primo giocatore che dice la parola "Set" ha il controllo del gioco e gli altri giocatori non possono più fare nulla. Il giocatore che ha chiamato Set deve trovare quanti più Set riesce in un certo lasso di tempo, diciamo 30 secondi, al termine dei quali il suo turno finisce e qualcun'altro (o il giocatore stesso) può chiamare Set. Per ogni Set trovato correttamente guadagna 1 punto. Se invece sbaglia (un set dichiarato non è veramente un set) oppure non riesce a trovare nessun Set una volta che l'ha chiamato perde 1 punto.

Ogni set trovato viene rimosso dal tavolo e le tre carte vengono rimpiazzate con altre 3 carte del mazzo. Se invece tra le 12 carte non c'è alcun set vengono aggiunte 3 carte (e in questo caso se un set viene trovato le tre carte vengono rimosse e non vengono aggiunte 3 carte perché ci sono già 12 carte sul tavolo) e così via.

Il gioco continua fino a quando tutte le carte del mazzo sono distribuite sul tavolo e al termine il giocatore con più punti vince.

Domanda
Mi chiedevo se è più conveniente chiamare Set e poi cercarlo (con il rischio di non trovarlo e perdere un punto) oppure chiamare Set una volta che lo si ha trovato (e guadagnare sicuramente almeno un punto, ma con il rischio che qualcun altro chiami Set prima e rubi i punti).

Domanda supplementare: La strategia può essere un miscuglio tra queste due a dipendenza di quanti set sono già stati trovati? O a dipendenza di quanti punti si possiede/possiedono gli altri giocatori?

Ps: Vi assicuro che non è così scontato vedere i set :lol:

da **3m0o** » 26/12/2022, 16:47

La mia idea a livello intuitivo (ma non ci ho ancora pensato) è che la strategia dipende dalla velocità media di un giocatore di trovare un set. Diciamo che in media i giocatori $g_1,g_2,\ldots,g_n$ di mettono rispettivamente $s_1,s_2,\ldots,s_n$ secondi in media a trovare un set nel caso ve ne sia uno sul tavolo e ordiniamoli in modo tale che $s_1<s_2<\ldots < s_n $.
Il caso in cui $n=2$. Il tempo a disposizione per cercare i set dopo che si ha chiamato "set" è $t$ secondi. Allora il giocatore $g_2$ che ci mette $s_2 $ secondi in media mentre il giocatore $g_1$ ci impiega in media $s_1 < s_2 $ secondi. Chiaramente se $g_2$ attende di vedere un set prima di chiamarlo in media perderà perché $g_1$ in media lo vede prima. Per cui a $g_2$ conviene chiamare set dopo $ t_1 < s_1 $ secondi se $ s_2 < t_1+t $ a questo punto però a $g_1 $ non conviene più attendere $ s_1 $ secondi per chiamare set. E dovrebbe chiamare set anche lui al tempo $ t_2 < t_1 $ se $ s_1 < t_2+t $ quindi direi che se $s_1< s_2 < t $ allora è conveniente chiamare set e poi cercarlo per entrambi. Mentre se $s_1 < t < s_2 $ non so bene cosa succede, ma credo che il giocatore $g_1$ abbia una strategia dominante vincendo in media perché gli conviene chiamare subito set. Mentre se $ t < s_1 < s_2 $ non so bene cosa possa essere la strategia ottimale (se esiste).

da **Martino** » 26/12/2022, 18:50

Ciao! Ti segnalo questo. Vedendo le carte come gli elementi dello spazio vettoriale $mathbb(F)_3^4$, tre carte formano un set se e solo se la loro somma vale zero.

da **axpgn** » 27/12/2022, 13:31

30 secondi? Tse, ti faccio giocare contro le mie nipotine, attimi altro che secondi :lol:

Da noi non si gioca così, si mettono le 12 carte in tavolo e il primo che vede un set lo chiama e lo ritira immediatamente, se dopo un po' nessuno vede niente si mettono altre tre carte sul banco e così via

Cordialmente, Alex

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