Generalizzazione di poveri nanetti!

[3m0o]

Questa volta la strega cattiva rapisce \(N\) nanetti. La strega distribuirà in modo casuale tra loro \(N\) cappelli, scelti tra due colori dello spettro visibile, probabilità 1/2 un colore, e probabilità 1/2 l'altro colore. Ad ogni nanetto verrà distribuito un cappello e non potrà vedere il proprio cappello (ma vedrà quello degli altri).
I nanetti dovranno indicare il colore del proprio cappello, tutti contemporaneamente. Saranno liberati se tutte le loro risposte saranno vere o se tutte le loro risposte saranno false.
I nanetti non sono a conoscenza dei colori scelti dalla strega, non possono comunicare tra loro dopo la distribuzione dei cappelli, ne ordinarsi, ne spostarsi, e ogni nanetto dovrà pronunciare uno dei colore che è stato scelto dalla strega, altrimenti verranno tutti giustiziati

Dato che hanno una notte per preparare la loro strategia, qual è la strategia ottimale?