Lascia che sia \(CE\) il segmento che individua i triangoli di area \(\delta\) ed \(\epsilon\).
Considerando \(AC\) come base, vale la proporzione: \(\frac{\alpha+\gamma}{\beta+\delta+\epsilon} = \frac{\gamma}{\delta}\).
Considerando \(BC\) come base, vale la proporzione: \(\frac{\alpha+\beta}{\gamma+\delta+\epsilon}=\frac{\beta}{\epsilon}\).
Risolvendo tale sistema di due equazioni in due incognite, si ottiene: \[
\delta = \frac{\beta\,\gamma\,(\alpha+\gamma)}{\alpha^2-\beta\,\gamma}\,,
\quad \quad \quad
\epsilon = \frac{\beta\,\gamma\,(\alpha+\beta)}{\alpha^2-\beta\,\gamma}
\] che è una soluzione accettabile a patto che \(\beta>0\), \(\gamma>0\), \(\alpha > \sqrt{\beta\,\gamma}\).
In conclusione, l'area di \(ABC\) risulta pari ad \(\alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon = \color{red}{\frac{\alpha\,(\alpha+\beta)\,(\alpha+\gamma)}{\alpha^2-\beta\,\gamma}}\), cvd.
Fissato un sistema di riferimento cartesiano \(Axy\), il triangolo \(ABC\) di area \(\delta > 0\) abbia coordinate: \[
A\left(0,0\right),
\quad \quad \quad
B\left(x_B,0\right)\,
\quad \quad \quad
C\left(x_C,\frac{2\,\delta}{x_B}\right)
\] con \(x_B \ne 0\), \(x_C \in \mathbb{R}\). Pertanto, ne consegue che: \[
D = A + (C-A)\,u\,,
\quad \quad \quad
F = B + (C-B)\,v
\] con \(0<u<1\), \(0<v<1\) e inoltre: \[
E_1 = A + (F-A)\,h\,,
\quad \quad \quad
E_2 = B + (D-B)\,k
\] dove, al solito, \(0<h<1\), \(0<k<1\).
Alla luce di tutto ciò, le coordinate di \(E\) sono determinabili imponendo: \[
E_1 = E_2
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
h = \frac{u}{u+v-u\,v}\,,
\quad \quad
k = \frac{v}{u+v-u\,v}
\] e quindi siamo nelle condizioni di poter stabilire che: \[
\small
\text{area}(ABD) = \frac{|x_B||y_D|}{2} = u\,\delta\,,
\quad
\text{area}(ABE) = \frac{|x_B||y_E|}{2} = \frac{u\,v\,\delta}{u+v-u\,v}\,,
\quad
\text{area}(ABF) = \frac{|x_B||y_F|}{2} = v\,\delta\,.
\] Siamo a cavallo! Ora è sufficiente risolvere il sistema di equazioni: \[
u\,\delta = \alpha+\gamma\,,
\quad \quad \quad
\frac{u\,v\,\delta}{u+v-u\,v} = \alpha\,,
\quad \quad \quad
v\,\delta = \alpha+\beta
\] per stabilire che risulta verificato se e solo se: \[
u = \frac{\alpha^2-\beta\,\gamma}{\alpha\,(\alpha+\beta)}\,,
\quad \quad \quad
v = \frac{\alpha^2-\beta\,\gamma}{\alpha\,(\alpha+\gamma)}\,,
\quad \quad \quad
\delta = {\color{red}{\frac{\alpha\,(\alpha+\beta)\,(\alpha+\gamma)}{\alpha^2-\beta\,\gamma}}}
\] che è una soluzione accettabile a patto che \(\beta>0\), \(\gamma>0\), \(\alpha > \sqrt{\beta\,\gamma}\). Fine!