Area di un triangolo note le aree di suoi sotto-triangoli

[axpgn]

Credo di essere riuscito a dimostrare il contrario di quanto ho scritto prima ovvero che date le tre aree relative a tre triangoli costruiti in quel modo, il triangolo grande è unico e quindi il problema è risolvibile.
Come è un altro paio di maniche

Dato un triangolo con area $alpha$ e base fissata, il vertice opposto alla base è libero di muoversi su una parallela alla base; se ora prolungo uno dei lati obliqui, questi affinché l'area $beta$ resta fissa dovrà incontrare il lato del triangolo grande su una parallela dell'altro lato obliquo e viceversa.
Quindi le intersezioni sono obbligate.

[amivaleo]

Approccio analitico anche il tuo vedo.
Sembra l'unica strada anche per la risoluzione del problema.

[sellacollesella]

Geometria sintetica + algebra

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Lascia che sia \(CE\) il segmento che individua i triangoli di area \(\delta\) ed \(\epsilon\).

Considerando \(AC\) come base, vale la proporzione: \(\frac{\alpha+\gamma}{\beta+\delta+\epsilon} = \frac{\gamma}{\delta}\).

Considerando \(BC\) come base, vale la proporzione: \(\frac{\alpha+\beta}{\gamma+\delta+\epsilon}=\frac{\beta}{\epsilon}\).

Risolvendo tale sistema di due equazioni in due incognite, si ottiene: \[
\delta = \frac{\beta\,\gamma\,(\alpha+\gamma)}{\alpha^2-\beta\,\gamma}\,,
\quad \quad \quad
\epsilon = \frac{\beta\,\gamma\,(\alpha+\beta)}{\alpha^2-\beta\,\gamma}
\] che è una soluzione accettabile a patto che \(\beta>0\), \(\gamma>0\), \(\alpha > \sqrt{\beta\,\gamma}\).

In conclusione, l'area di \(ABC\) risulta pari ad \(\alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon = \color{red}{\frac{\alpha\,(\alpha+\beta)\,(\alpha+\gamma)}{\alpha^2-\beta\,\gamma}}\), cvd.

Geometria analitica + algebra

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Fissato un sistema di riferimento cartesiano \(Axy\), il triangolo \(ABC\) di area \(\delta > 0\) abbia coordinate: \[
A\left(0,0\right),
\quad \quad \quad
B\left(x_B,0\right)\,
\quad \quad \quad
C\left(x_C,\frac{2\,\delta}{x_B}\right)
\] con \(x_B \ne 0\), \(x_C \in \mathbb{R}\). Pertanto, ne consegue che: \[
D = A + (C-A)\,u\,,
\quad \quad \quad
F = B + (C-B)\,v
\] con \(0<u<1\), \(0<v<1\) e inoltre: \[
E_1 = A + (F-A)\,h\,,
\quad \quad \quad
E_2 = B + (D-B)\,k
\] dove, al solito, \(0<h<1\), \(0<k<1\).

Alla luce di tutto ciò, le coordinate di \(E\) sono determinabili imponendo: \[
E_1 = E_2
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
h = \frac{u}{u+v-u\,v}\,,
\quad \quad
k = \frac{v}{u+v-u\,v}
\] e quindi siamo nelle condizioni di poter stabilire che: \[
\small
\text{area}(ABD) = \frac{|x_B||y_D|}{2} = u\,\delta\,,
\quad
\text{area}(ABE) = \frac{|x_B||y_E|}{2} = \frac{u\,v\,\delta}{u+v-u\,v}\,,
\quad
\text{area}(ABF) = \frac{|x_B||y_F|}{2} = v\,\delta\,.
\] Siamo a cavallo! Ora è sufficiente risolvere il sistema di equazioni: \[
u\,\delta = \alpha+\gamma\,,
\quad \quad \quad
\frac{u\,v\,\delta}{u+v-u\,v} = \alpha\,,
\quad \quad \quad
v\,\delta = \alpha+\beta
\] per stabilire che risulta verificato se e solo se: \[
u = \frac{\alpha^2-\beta\,\gamma}{\alpha\,(\alpha+\beta)}\,,
\quad \quad \quad
v = \frac{\alpha^2-\beta\,\gamma}{\alpha\,(\alpha+\gamma)}\,,
\quad \quad \quad
\delta = {\color{red}{\frac{\alpha\,(\alpha+\beta)\,(\alpha+\gamma)}{\alpha^2-\beta\,\gamma}}}
\] che è una soluzione accettabile a patto che \(\beta>0\), \(\gamma>0\), \(\alpha > \sqrt{\beta\,\gamma}\). Fine!

[axpgn]

@sellacollesella

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Ci ho lavorato molto sulle varie basi e le loro proporzionalità (anche dividendo in due triangoli il quadrilatero come hai fatto tu) ma mi sono sempre perso prima

Cordialmente, Alex

[sellacollesella]

@axpgn:

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In verità, se ci sono arrivato è grazie alla soluzione analitica. A quel punto, ho costruito una routine che mi calcolasse tutti i possibili rapporti immaginabili e ho messo a confronto i risultati, finché mi si sono aperti gli occhi. Ecco, a me sinceramente manca sta cosa nella mia formazione, non riesco proprio a vedere ste proporzionalità senza barare, se così vogliamo dire. In ogni modo, forse imparo qualcosa anche così!

[amivaleo]

Geometria sintetica + algebra

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Lascia che sia \(CE\) il segmento che individua i triangoli di area \(\delta\) ed \(\epsilon\).

Considerando \(AC\) come base, vale la proporzione: \(\frac{\alpha+\gamma}{\beta+\delta+\epsilon} = \frac{\gamma}{\delta}\).

Considerando \(BC\) come base, vale la proporzione: \(\frac{\alpha+\beta}{\gamma+\delta+\epsilon}=\frac{\beta}{\epsilon}\).

Risolvendo tale sistema di due equazioni in due incognite, si ottiene: \[
\delta = \frac{\beta\,\gamma\,(\alpha+\gamma)}{\alpha^2-\beta\,\gamma}\,,
\quad \quad \quad
\epsilon = \frac{\beta\,\gamma\,(\alpha+\beta)}{\alpha^2-\beta\,\gamma}
\] che è una soluzione accettabile a patto che \(\beta>0\), \(\gamma>0\), \(\alpha > \sqrt{\beta\,\gamma}\).

In conclusione, l'area di \(ABC\) risulta pari ad \(\alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon = \color{red}{\frac{\alpha\,(\alpha+\beta)\,(\alpha+\gamma)}{\alpha^2-\beta\,\gamma}}\), cvd.

[...]

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Mi sfugge la ragione per cui valgono le prime due proporzioni tra le aree. Sento che in qualche modo c'entra il fatto che "tutti i triangoli con la stessa base e la stessa altezza hanno la stessa area", però... Qualche parolina? :3

[sellacollesella]

@amivaleo:

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Dato il triangolo \(ABC\), lascia che \(AC\) sia la base e \(BH\) sia l'altezza.

Quindi, notando che: \[
\alpha+\gamma = \frac{\overline{AD} \cdot \overline{BH}}{2},
\quad \quad \quad
\beta+\delta+\epsilon = \frac{\overline{CD} \cdot \overline{BH}}{2}
\] rapportando tali equazioni membro a membro otteniamo: \[
\frac{\alpha+\gamma}{\beta+\delta+\epsilon} = \frac{\overline{AD}}{\overline{CD}}\,.
\] Capito il giochetto, lo ripetiamo applicato ai soli due triangoli "vicini" alla base \(AC\): \[
\gamma = \frac{\overline{AD} \cdot \overline{EK}}{2},
\quad \quad \quad
\delta = \frac{\overline{CD}\cdot\overline{EK}}{2}
\] e rapportando nuovamente membro a membro otteniamo: \[
\frac{\gamma}{\delta} = \frac{\overline{AD}}{\overline{CD}}\,.
\] Tombola! Per la proprietà transitiva sui reali: \[
\frac{\alpha+\gamma}{\beta+\delta+\epsilon} = \frac{\gamma}{\delta}
\] che è la prima tra le due proporzioni che ho utilizzato nella dimostrazione; la seconda è gemella.