Triangolo inscritto

[Drazen77]

$\bar{AB}=12$
$\bar{AC}=12$
$\bar{AE}=8$

Quanto misura $\bar{AD}$?

[sellacollesella]

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Per additività: \[
\overline{AD} = \overline{AE} + \overline{ED}
\] per il teorema delle corde (1): \[
\overline{AD} = \overline{AE} + \frac{\overline{BE}\;\overline{EC}}{\overline{AE}}
\] per il teorema di Stewart (2): \[
\overline{AD} = \overline{AE} + \frac{\overline{AB}^2-\overline{AE}^2}{\overline{AE}}
\] ossia, semplificando: \[
\overline{AD} = \frac{\overline{AB}^2}{\overline{AE}} = \frac{12^2}{8} = 18\,.
\] _______________

(1) Dimostrazione: \[
\widehat{AEC} = \widehat{BED}\,,
\quad \quad \quad
\widehat{BCA} = \widehat{BDA}
\] perché sono opposti al vertice nel primo caso e insistenti sullo stesso arco \(AB\) nel secondo caso.

Pertanto, i triangoli \(AEC\) e \(BED\) sono simili per il primo criterio di similitudine fra triangoli, ossia: \[
\overline{AE} : \overline{BE} = \overline{EC} : \overline{ED}
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
\overline{ED} = \frac{\overline{BE}\;\overline{EC}}{\overline{AE}}\,.
\] _______________

(2) Dimostrazione: \[
\begin{cases}
\overline{AB}^2 = \overline{AH}^2 + \left(\overline{BE}+\overline{EH}\right)^2 \\
\overline{AC}^2 = \overline{AH}^2 + \left(\overline{EC}-\overline{EH}\right)^2 \\
\overline{AE}^2 = \overline{AH}^2 + \overline{EH}^2 \\
\end{cases}
\] per il teorema di Pitagora, ossia: \[
\begin{cases}
\overline{AB}^2 = \overline{AE}^2 + \overline{BE}^2 + 2\,\overline{BE}\,\overline{EH} \\
\overline{AC}^2 = \overline{AE}^2 + \overline{EC}^2 - 2\,\overline{EC}\,\overline{EH} \\
\end{cases}
\] ossia: \[
\begin{cases}
\overline{AB}^2\,\overline{EC} = \overline{AE}^2\,\overline{EC} + \overline{BE}^2\,\overline{EC} + 2\,\overline{BE}\,\overline{EH}\,\overline{EC} \\
\overline{AC}^2\,\overline{BE} = \overline{AE}^2\,\overline{BE} + \overline{EC}^2\,\overline{BE} - 2\,\overline{EC}\,\overline{EH}\,\overline{BE} \\
\end{cases}
\] ossia: \[
\overline{AB}^2\,\overline{EC} + \overline{AC}^2\,\overline{BE} = \left(\overline{BE} + \overline{EC}\right)\left(\overline{AE}^2+\overline{BE}\,\overline{EC}\right)
\] ossia: \[
\overline{AB}^2\left(\overline{BE} + \overline{EC}\right) = \left(\overline{BE} + \overline{EC}\right)\left(\overline{AE}^2+\overline{BE}\,\overline{EC}\right)
\] essendo \(\overline{AC} = \overline{AB}\), ossia: \[
\overline{BE}\;\overline{EC} = \overline{AB}^2 - \overline{AE}^2.
\]

[Drazen77]