Frazioni fragili

[axpgn]

È possibile costruire la frazione $1/2$ come somma di altre frazioni della forma $1/x^2$?

La soluzione deve avere un numero finito di termini, non ripetuti e tali che $x<=100$.


Cordialmente, Alex

[3m0o]

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Questi li consideri ripetuti?
\[\frac{1}{2^2} + \frac{1}{(-2)^2} =\frac{1}{4}+ \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \]

[axpgn]

Sì, davo per scontato che per $x$ si intendesse un numero naturale

[3m0o]

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Due opzioni che si autoescludono
1) Il vincolo \(x \leq 100 \) non è necessario
2) La mia dimostrazione contiene un errore




Supponiamo che esistano \(x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{N}_{>0} \) tale che \( \operatorname{gcd}(x_1,\ldots,x_n)=1\)
\[ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{x_j^2} = \frac{1}{2} \]
questo è equivalente a
\[ 2 \sum_{j=1}^{n} \prod_{1 \leq k \neq j \leq n} x_j^2 = \prod_{j=1}^{n} x_j^2 \]
ora siccome il numero di destra è pari abbiamo che esiste \(1 \leq j \leq n \) tale che \( 2 \mid x_j \). Risulta che il numero di destra è divisibile per \(4\) infatti \(4 \mid x_j^2 \). Wlog supponiamo che \( 1 \leq \ell < n \) sia tale \( 2 \mid x_j \) per ogni \( 1 \leq j \leq \ell \) e \( 2 \nmid x_j \) per ogni \( j > \ell \). Abbiamo che il numero di destra è divisibile per \( 2^{2\ell} \) ma non è divisibile per \( 2^{2\ell +1 } \). Possiamo quindi scrivere
\[ \prod_{j=1}^{n} x_j^2 = 2^{2\ell} n_3 \]
dove \(n_3\) è dispari.
Riscrivendo il numero di sinistra come
\[ 2 \sum_{j=1}^{\ell} \prod_{1 \leq k \neq j \leq n} x_j^2 + 2 \sum_{j=\ell +1}^{n} \prod_{1 \leq k \neq j \leq n} x_j^2 = S_1 + S_2 \]
abbiamo che \( S_1 \) è divisibile per \( 2^{2 \ell} \) ma non è divisibile per \( 2^{2\ell +1 } \) mentre \( S_2 \) è divisibile per \( 2^{2 \ell+1} \) ma non è divisibile per \( 2^{2\ell +2 } \). Quindi possiamo scrivere
\[ 2^{2 \ell} n_1 + 2^{2 \ell +1} n_2 = 2^{2 \ell} n_3 \]
e dove \(n_1,n_2\) sono dispari.
Abbiamo per ipotesi che
\[ \frac{2^{2\ell} \left( n_1+2n_2 \right)}{2^{2\ell} n_3} = \frac{1}{2} \]
o equivalentemente
\[ \frac{n_1+2n_2}{n_3} = \frac{1}{2} \]
ma sia \(n_1 + 2n_2 \) che \(n_3 \) sono dispari, contraddizione!

Wlog possiamo supporre che \( \operatorname{gcd}(x_1,\ldots,x_n)=1\) siccome se \( \operatorname{gcd}(x_1,\ldots,x_n)=g > 1\) allora
\[ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{x_j^2} = \frac{1}{g^2} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{y_j^2} = \frac{1}{2} \]
con \( \operatorname{gcd}(y_1,\ldots,y_n)=1 \)
E un ragionamento analogo può essere applicato con
\[ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{y_j^2} = \frac{g^2}{2} \]
se \(g\) è dispari non c'è problema, se \(g\) è pari ed è divisibile per \(2^{r}\) allora abbiamo che \( g^2 \prod_{j=1}^{n} y_j^2= 2^{2\ell + 2r} n_3 \) in modo analogo a prima, mentre non cambia nulla per il termine di sinistra. In modo del tutto analogo a prima risulta che
\[ 2^{2 \ell} n_1 + 2^{2 \ell +1} n_2 = 2^{2 \ell+2r} n_3 \]
chiaramente se \(r \geq 1 \) abbiamo una contraddizione.

[axpgn]

Ti posso dire due cose:

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1) Una soluzione esiste (l'ho verificata, non sia mai )
2) Perché coprimi? Non è richiesto, devono essere numeri naturali diversi.

... e terzo ( ): prima o poi riuscirò a starti dietro

Cordialmente, Alex

[3m0o]

Come immaginavo era la 2

edit:

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Ho aggiunto coprimi perché pensavo che poi il caso con gli \(x_j\) non coprimi seguisse dal caso con gli \(x_j\) coprimi, ma evidentemente c'è un errore

[axpgn]

Supposizione sensata però non penserai che l'errore lo trovi io!

[dan95]

Problema molto carino, ma si va a tentativi o esiste una soluzione ingegnosa?

[axpgn]

Non credo esista un algoritmo o una procedura per trovarla. O almeno così era quando l'ho letta.
Gli stessi autori non sapevano se esistessero le soluzioni per i primi cento $1/n$ anzi scrivevano

"Perhaps the only way to answer this question is through a brute force search—by systematically testing the sums of all subsets of those first $100$ rational squares until we find solutions for all of the targeted values ($1/1$ through $1/100$).
This approach is challenging because so many subsets exist, in particular, $2^100– 1 = 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,375$ subsets.
Even with a computer that could perform 1 billion of these subset sums per second, it would take $4 xx 10^13$ years to check them all. However, this number may be reduced substantially by using intelligent searches"

Quindi se trovi una "intelligent search" sei grande

[dan95]

@Alex

Mi potresti mandare quando hai tempo la soluzione in privato? Grazie