Dodecagono

[axpgn]

Un dodecagono regolare è inscritto in un cerchio di raggio unitario.
Un punto $P$ viene scelto casualmente sulla circonferenza.

Determinare la somma dei quadrati delle distanze di ogni vertice da $P$.



Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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$24$

In generale per un poligono di $n$ lati:

$\sum_{k=1}^n [2 \sin((\alpha + k/n 2 \pi )/(2))]^2$

$4 sum_{k=1}^n [\sin((\alpha + k/n 2 \pi )/(2))]^2$

$4 sum_{k=1}^n 1/2[1- \cos(\alpha + k/n 2 \pi )]$

$2 sum_{k=1}^n [1- \cos\alpha \cos (k/n 2 \pi) + \sin\alpha \sin (k/n 2 \pi) ]$

$2 [sum_{k=1}^n 1 - \cos\alpha sum_{k=1}^n \cos (k/n 2 \pi) + \sin\alpha sum_{k=1}^n \sin (k/n 2 \pi) ]$

$2n $
---------------------------------------------
$sum_{k=1}^n \cos (k/n 2 \pi) = sum_{k=1}^n \sin (k/n 2 \pi) = 0$
---------------------------------------------

[ViciousGoblin]

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$24$

In generale per un poligono di $n$ lati:

$\sum_{k=0}^n [2 \sin((\alpha + k/n 2 \pi )/(2))]^2$

$4 sum_{k=0}^n [\sin((\alpha + k/n 2 \pi )/(2))]^2$

$4 sum_{k=0}^n 1/2[1- \cos(\alpha + k/n 2 \pi )]$

$2 sum_{k=0}^n [1- \cos\alpha \cos (k/n 2 \pi) + \sin\alpha \sin (k/n 2 \pi) ]$

$2 [sum_{k=0}^n 1 - \cos\alpha sum_{k=0}^n \cos (k/n 2 \pi) + \sin\alpha sum_{k=0}^n \sin (k/n 2 \pi) ]$

$2n $
---------------------------------------------
$sum_{k=0}^n \cos (k/n 2 \pi) = sum_{k=0}^n \sin (k/n 2 \pi) = 0$
---------------------------------------------

Credo che le sommatorie siano da $0$ a $n-1$

[axpgn]

@Quinzio

Bene il risultato ma che complicazione inutile


Cordialmente, Alex

[ViciousGoblin]

Io l'avrei fatto gli stessi calcoli di Quinzio usando i complessi...

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Se $\hat z:=\cos(2\pi/n)+i\sin(2\pi/n)$e se $z$ è un qualunque elemento delle circonferenza unitaria:
$\sum_{k=0}^{n-1}|\hat z^k-z|^2=\sum_{k=0}^{n-1}(|\hat z^k|^2-2\hat z^k\bar z+|z|^2)=\sum_{k=0}^{n-1}(1-2\hat z^k\bar z+1)=
2n-2(\sum_{k=0}^{n-1}\hat z^k)\bar z=2n-2\frac{1-\hat z^n}{1-\hat z}=2n$
perché $\hat z^n=1$ (si è usata l'espressione della somma parziale della serie geometrica).

Sono curioso di vedere la soluzione "semplice"

[ViciousGoblin]

Ehm... questa è una versione "elementare" (sto facendo un ripasso )

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[axpgn]

Stavo per postarlo ma sei arrivato prima
Più elementare di così

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$V_1V_7$ è un diametro, sono vertici opposti ovvero $180°$ così come tutte le altre coppie di vertici opposti

Cordialmente, Alex