Dodecaedro

[axpgn]

Dato un dodecaedro regolare, determinare il numero di diagonali che NON giacciono su una delle facce del dodecaedro.


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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160
Dunque, in un dodecaedro ci sono 12 facce, 20 vertici, 30 spigoli.
Eulero noterebbe subito che 12+20=30+2

Se colleghiamo un vertice agli altri abbiamo 19 diagonali. Ripetiamo per ogni vertice: 20*19 = 380 diagonali.
Queste diagonali sono contate 2 volte, una dallo spigolo A allo spigolo B e un'altra volta da B ad A.
Quindi il conto si dimezza: 190 diagonali.
Togliamo gli spigoli e rimaniamo con 160 diagonali.
Che e' un numero impressionante di linee, immaginate tutte dentro al dodecaedro.

[axpgn]

Non è quanto richiesto

[Quinzio]

Non è quanto richiesto

Ahhhhhh.... ci sono quelle sulle facce... !!! Hai ragione

[Quinzio]

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Dunque, in un dodecaedro ci sono 12 facce, 20 vertici, 30 spigoli.
Eulero noterebbe subito che 12+20=30+2

Se colleghiamo un vertice agli altri abbiamo 19 diagonali. Ripetiamo per ogni vertice: 20*19 = 380 diagonali.
Queste diagonali sono contate 2 volte, una dallo spigolo A allo spigolo B e un'altra volta da B ad A.
Quindi il conto si dimezza: 190 diagonali.
Togliamo gli spigoli e rimaniamo con 160 diagonali.

Per ogni faccia ci sono 5 diagonali interne (non spigoli).
Con 12 facce, abbiamo 5*12 = 60 diagonali interne alle facce.

Togliamo anche queste e arriviamo a 100 diagonali.

(Comunque non e' chiaro al 100% se uno spigolo va considerato come diagonale sulla faccia).

[axpgn]

Alternativa

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Un dodecaedro ha 12 facce pentagonali quindi 60 lati ma contati due volte quindi gli spigoli sono 30 e usando la formula di Eulero troviamo che i vertici sono 20.
Da un vertice mi collego con altri 19, dal secondo vertice con altri 18, ecc quindi le "diagonali" sono $(19*20)/2=190$
Faccio lo stesso per ogni faccia cioè $4+3+2+1=10$ che moltiplicato per 12 facce fa 120 ma gli spigoli sono contati due volte quindi in realtà sono solo $90$
Dal totale delle "diagonali" tolgo quelle sulle facce e mi rimangono $190-90=100$ diagonali interne.

Cordialmente, Alex