I Cavalieri e il Mago

[axpgn]

Un numero infinito di Cavalieri (tutti di differente altezza) è allineato in riga di fronte al Mago.

Provare che il Mago può dire ad alcuni di loro di uscire dalla linea, in modo tale che nella linea rimanga un numero infinito di Cavalieri e che tutti questi rimasti nella linea siano ordinati in altezza crescente (o decrescente che è lo stesso )


Versione al finito (più semplice ... forse )

I numeri $1, 2, 3, ..., 100, 101$ sono scritti in linea in un ordine qualsiasi.

Provare che è sempre possibile cancellare $90$ di questi numeri in modo tale che gli $11$ restanti siano ordinati in modo crescente (o decrescente).


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Direi che si risolve con il teorema di Bolzano Weierstrass,
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... eierstrass

[gabriella127]

@ Quinzio

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Avevo pensato anche io a Bolzano Weierstrass, ma nel senso di inventarmi qualche teorema tipo 'da ogni successione con termini tutti diversi si può estrarre una sottosuccessione crescente' ma Bolzano Weierstrass? Dove sta la successione limitata? Possono essere cavalieri altissimi sempre più alti.

[ViciousGoblin]

@ Quinzio

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Avevo pensato anche io a Bolzano Weierstrass, ma nel senso di inventarmi qualche teorema tipo 'da ogni successione con termini tutti diversi si può estrarre una sottosuccessione crescente' ma Bolzano Weierstrass? Dove sta la successione limitata? Possono essere cavalieri altissimi sempre più alti.

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Ma allora trovi una sottosuccessione crescente che diverge a più infinito

[axpgn]

Eviterei di usare teoremi preconfezionati, per vari motivi ma in primis perché è un problema per i ragazzi del biennio che si può risolvere logicamente senza grandi difficoltà

[gabriella127]

@ Quinzio

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Avevo pensato anche io a Bolzano Weierstrass, ma nel senso di inventarmi qualche teorema tipo 'da ogni successione con termini tutti diversi si può estrarre una sottosuccessione crescente' ma Bolzano Weierstrass? Dove sta la successione limitata? Possono essere cavalieri altissimi sempre più alti.

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Ma allora trovi una sottosuccessione crescente che diverge a più infinito

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Non ho capito. Volevo dire che non si può usare Bolzano Weierstrass perché la successione non è detto che sia limitata.
Se non è limitata si può trovare una sottosuccessione crescente, ok.
Ma se è limitata, cosa ci dice che c'è una sottosuccesione crescente? Mica Bolzano Weiestrass ce lo dice.

[gabriella127]

Eviterei di usare teoremi preconfezionati, per vari motivi ma in primis perché è un problema per i ragazzi del biennio che si può risolvere logicamente senza grandi difficoltà

In effetti non dovrebbero servire visto che c'è il caso finito.

[ViciousGoblin]

@ Quinzio

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Avevo pensato anche io a Bolzano Weierstrass, ma nel senso di inventarmi qualche teorema tipo 'da ogni successione con termini tutti diversi si può estrarre una sottosuccessione crescente' ma Bolzano Weierstrass? Dove sta la successione limitata? Possono essere cavalieri altissimi sempre più alti.

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Ma allora trovi una sottosuccessione crescente che diverge a più infinito

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Non ho capito. Volevo dire che non si può usare Bolzano Weierstrass perché la successione non è detto che sia limitata.
Se non è limitata si può trovare una sottosuccessione crescente, ok.
Ma se è limitata, cosa ci dice che c'è una sottosuccesione crescente? Mica Bolzano Weiestrass ce lo dice.

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No certo. Bolzano Weierstrass ti dà una sottosuccessione convergente. Da qui con un po' di pazienza estrai una ulteriore sottosuccessione monotona. E'chiaro che non era questo il metodo auspicato... però anche a me era venuto così.

[gabriella127]

Bolzano Weierstrass ti dà una sottosuccessione convergente. Da qui con un po' di pazienza estrai una ulteriore sottosuccessione monotona. E'chiaro che non era questo il metodo auspicato... però anche a me era venuto così.

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Scusami se sono dura di comprendonio, dalla sottosuccessione convergente come estrai la successione monotona? Non c'è nulla in Bolzano Weiestrass che ce lo garantisce. Intendo strettamente crescente, perché questo dice il problema di axpgn.
Prendi una successione fatta solo di $1$ e di $2$, limitata, Bolzano Weiserstrass ci dice che c'è sottosuccessione convergente, e in effetti c'è .
Dopodiché, picche, mica puoi estrarre una successione strettamente crescente.

Vabbe', forse non ci stiamo capendo, bisogna specificare che si tratta di una successione con termini tutti diversi, come nel problema.

[ViciousGoblin]

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Scusami se sono dura di comprendonio, dalla sottosuccessione convergente come estrai la successione monotona? Non c'è nulla in Bolzano Weiestrass che ce lo garantisce. Intendo strettamente crescente, perché questo dice il problema di axpgn.
Prendi una successione fatta solo di $1$ e di $2$, limitata, Bolzano Weiserstrass ci dice che c'è sottosuccessione convergente, e in effetti c'è .
Dopodiché, picche, mica puoi estrarre una successione strettamente crescente.

Vabbe', forse non ci stiamo capendo, bisogna specificare che si tratta di una successione con termini tutti diversi, come nel problema.

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Scusa Gabriella. Sono stato un po' evasivo nei dettagli anche perché scrivevo da cellulare. Ho anche cercato di dire che non c'è solo Bolzano-Weierstrass, ma comunque un po' di magheggi con le successioni. Ti elenco i passi che io avevo in mente, anche se mi pare che ci siamo sostanzialmente capiti.

Prendiamo una successione $(a_n)$ di numeri positivi.

1) Se $(a_n)$ non è limitata puoi costruire una sottosuccessione strettamente crescente che tende all'infinito;
2) Se $(a_n)$ è limitata puoi trovare una sua sottosuccessione $(b_n)$ che tende a un limite finito $l$ (Bolzano-Weierstrass);
3) Se $b_n\to l$ allora esiste una sottosuccessione di $(b_n)$ monotona - in effetti ci sono tre casi
a) $b_n$ è definitivamente costante;
b) $b_n>l$ per infiniti $n$;
c) $b_n<l$ per infiniti $n$;
nel caso a) la tesi è ovvia, negli altri due usi la definizione di limite (un po' come dovresti fare nel punto 1) )
4) Se la successione originaria aveva tutti valori diversi, allora alla fine hai una sottosuccessione strettamente monotona.

Sono invece bloccato nel dimostrare il caso finito... (e non capisco neanche come abbia a che fare con quello infinito).
Mi vengono in mente solo cose complicate...