Le principesse e il drago

[axpgn]

Il Drago catturò due Principesse, Angelina ed Ombretta, e le collocò in due diverse torri del suo castello.
Il Drago poi si mise a lanciare una moneta un infinito numero di volte, informando Angelina di tutti i risultati dei lanci di posto pari e Ombretta di tutti i risultati dei lanci di posto dispari.
Successivamente, il Drago chiede a ciascuna principessa di nominare il numero di un qualsiasi lancio a lei sconosciuto ovvero, in altre parole, Angelina deve nominare un numero dispari ed Ombretta un numero pari.
Se i risultati dei lanci nominati dalle Principesse sono gli stessi (entrambi teste o entrambi croce) allora il Drago libererà le Principesse altrimenti le divorerà.
Le Principesse conoscono le abitudini del Drago e avrebbero potuto concordare in precedenza una strategia.

Quali sono le probabilità che le Principesse riescano a salvarsi, se Ombretta nominerà un numero per prima mentre Angelina nominerà il suo conoscendo quello di Ombretta?


Cordialmente, Alex

[@melia]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Siccome il numero di lanci è infinito ci saranno due lanci dispari consecutivi ($2k-1$ e $2k+1$) in cui il primo ottiene croce e il secondo testa. Ombretta sceglierà $2k$ e Angelina sceglierà tra $2k-1$ e $2k+1$ quello corrispondente. Spero di essermi fatta capire.

[axpgn]

Perfetto, brava!

[hydro]

Non ho capito, non può uscire sempre testa o sempre croce? o anche $n$ volte testa e poi sempre croce?

[axpgn]

@hydro:
Si chiede di trovare la migliore strategia possibile e non invece una strategia che dia il 100% di possibilità di salvezza (anche se quella trovata da @melia praticamente lo è).

[hydro]

Hmmmm però allora bisogna dimostrare che questa è effettivamente la migliore strategia possibile...

[axpgn]

Allora, volendo essere più precisi, riprendo il testo originale che dice "Quali sono le probabilità ..." e adottando questa strategia le probabilità, al limite, tendono al 100%.
Isn't it?

[hydro]

Allora, volendo essere più precisi, riprendo il testo originale che dice "Quali sono le probabilità ..." e adottando questa strategia le probabilità, al limite, tendono al 100%.
Isn't it?

Non esattamente, perchè non si capisce quale distribuzione di probabilità tu stia considerando su $\{0,1\}^{\mathbb N}$. L'idea più banale, ovvero quella di dire che la probabilità di $A\subseteq \{0,1\}^{\mathbb N}$ è $\lim_{N\to +\infty}\frac{|\pi_N(A)|}{2^N}$, con $\pi_N:\{0,1\}^{\mathbb N}\to \{0,1\}^N$ definita nel modo ovvio, non definisce una distribuzione di probabilità. Quello che si può fare invece è la misura prodotto, ma lì poi succede che eventi del tipo "tutti i lanci pari sono testa" non sono nella sigma-algebra dello spazio prodotto, quindi non hanno probabilità. E questo è un evento di cui bisogna tenere conto, in quella strategia.

Ovviamente ti puoi salvare dicendo che il drago tira la moneta un numero di volte grande ma finito. Lì allora tutto ha senso, la probabilità di salvarsi non è $1$ ma tende a $1$. Però in questo caso sorge una domanda spontanea: non è che c'è una strategia con cui la probabilità di salvarsi tende a $1$ più rapidamente?

[axpgn]

Beh, però quello che conta (sempre riferendomi al testo originale) è trovare una strategia per salvarsi, non necessariamente la più veloce (ammesso che ne esista un'altra) e quella adottata, in pratica, te lo garantisce sicuramente.

Formalmente non so risponderti ma anche su un numero di lanci infinito, le successioni "sfortunate" (quelle da te indicate) dovrebbero ridursi ad un infinitesimo, no?

[hydro]

Beh, però quello che conta (sempre riferendomi al testo originale) è trovare una strategia per salvarsi, non necessariamente la più veloce (ammesso che ne esista un'altra) e quella adottata, in pratica, te lo garantisce sicuramente.

Dipende da cosa intendi con "sicuramente". Se intendi "nel 100% dei casi", allora sì. Se intendi "per ogni configurazione dei lanci", allora no.

Formalmente non so risponderti ma anche su un numero di lanci infinito, le successioni "sfortunate" (quelle da te indicate) dovrebbero ridursi ad un infinitesimo, no?

Sì certo, diventano un insieme di densità zero se si considera il concetto naif di limite delle probabilità che scrivevo sopra. Lo dicevo semplicemente per puntualizzare il fatto che il concetto di probabilità va trattato con attenzione perchè rivela più insidie di quello che si pensi!