da hydro » 25/05/2023, 10:45
E' una cosa che confuse anche me, da studente. Il punto della questione è semplicemente la definizione di probabilità. In parole povere ed imprecise, dare una distribuzione di probabilità su una famiglia di eventi $\mathcal F$ significa dare una funzione $p:\mathcal F\to [0,1]$ che rispetta una serie di proprietà. Gli eventi sono sottoinsiemi di un insieme "universo" $U$. Tra le proprietà c'è ad esempio il fatto che $p(U)=1$, ovvero la probabilità che almeno un evento accada è $1$. Ora, come va pensata questa definizione? Va pensata nel seguente modo: una distribuzione di probabilità è un modo di misurare alcuni sottoinsiemi di $U$, normalizzando il tutto in modo che la misura di $U$ sia $1$. Se ci pensi in questi termini, è chiaro che esistono degli esempi in cui sottoinsiemi non vuoti di $U$ hanno misura $0$. Ad esempio puoi prendere $U$ come l'intervallo $[0,1]$, e come probabilità la misura di Lebesgue. Questa va pensata, al di là della definizione, come al modo "ovvio" di misurare i sottoinsiemi di $[0,1]$, ad esempio se prendi un sottointervallo $(a,b)$ questo ha misura $b-a$ (caveat: non tutti i sottoinsiemi di $[0,1]$ sono misurabili!). I punti sono misurabili, ed hanno misura $0$, il che è intuitivamente ovvio: un punto è un oggetto $0$-dimensionale, un intervallo è un oggetto $1$-dimensionale. I sottoinsiemi misurabili non sono nient'altro che gli eventi di cui è definita la probabilità. Ergo, la probabilità di un punto, ad esempio \(1/2\), è $0$, ma il sottoinsieme \(\{1/2\}\) non è vuoto! Ora ripensa a tutto questo come al seguente gioco, spiegato in termini non matematici: devi tirare una freccetta contro l'intervallo $[0,1]$, uniformemente a caso. Qual è la probabilità di colpire il punto \(1/2\)? Beh, la probabilità è $0$. Ma questo vuol dire che è un evento impossibile? Certo che no, l'evento è possibile. Ovvero, esistono eventi possibili che hanno probabilità nulla.
La stessa cosa è vera anche al contrario: esistono eventi diversi da $U$ che hanno probabilità $1$. Ad esempio, l'evento "colpire un punto irrazionale" ha probabilità $1$. Questo significa che comunque tu tiri la freccetta colpirai un punto irrazionale? Certo che no! Ad esempio, puoi colpire \(1/2\). Da qui vedi che dire il termine certamente, nel contesto della probabilità, è ambiguo: stai indicando l'evento $U$ o stai indicando un evento di probabilità $1$? Se l'insieme di eventi con cui hai a che fare è finito, allora non c'è differenza. Ma per insiemi infiniti le cose cambiano. Il caso della principessa simile a quello della freccetta, con l'ulteriore complicazione che va specificato quale distribuzione di probabilità stai mettendo sull'insieme $U=\{0,1\}^{\mathbb N}$. Come dicevo sopra, la definizione naif di prendere il limite delle probabilità NON definisce una misura di probabilità su $\{0,1\}^{\mathbb N}$. Esiste un modo "naturale" di definire una misura di probabilità su $\{0,1\}^{\mathbb N}$ partendo dalla distribuzione uniforme su $\{0,1\}$, ed è quello di usare la probabilità prodotto. Ma con questa definizione l'evento "tutti i lanci pari sono testa" NON è un evento misurabile, ovvero la sua probabilità non è definita.
