Aree e Perimetri

[axpgn]

1)

Trovare due rettangoli, con lati di misura intera, tali che l'area del primo è il triplo dell'area del secondo e che il perimetro del secondo è il triplo del perimetro del primo.


2)

In un triangolo rettangolo con lati di misura intera la somma della misura dell'area con la misura del perimetro è pari a $280$.
Determinare area e lati.


Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

2) Terna Pitagorica 20,21,29

[axpgn]

E l'altro?

[sellacollesella]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Imposto: \[
\begin{cases}
b_1h_1 = 3\cdot b_2h_2 \\
2(b_2+h_2) = 3\cdot 2(b_1+h_1) \\
\end{cases}
\] e definiti: \[
x := \frac{h_1}{b_1},
\quad \quad
y := \frac{b_2}{b_1},
\quad \quad
z := \frac{h_2}{b_1}
\] si ottiene: \[
\begin{cases}
x = 3yz \\
y+z = 3(1+x) \\
\end{cases}
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
\begin{cases}
x = 3z\frac{z-3}{9z-1} \\
y = \frac{z-3}{9z-1} \\
\end{cases}
\] validi per: \[
\begin{cases}
x > 0 \\
y > 0 \\
z > 0 \\
\end{cases}
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
0 < z < \frac{1}{9} \; \vee \; z > 3\,.
\] Pertanto, a titolo d'esempio, fisso \(z = \frac{1}{13}\), da cui \(x = \frac{57}{26}\) e \(y = \frac{19}{2}\), quindi assumendo \(b_1 = 26\) a ritroso ottengo \(h_1 = 57\), \(b_2 = 247\) e \(h_2 = 2\). Lo stesso procedimento risulta applicabile in qualsiasi altro caso.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Imposto: \[
\frac{ab}{2} + a+b+c = 280
\] e definiti: \[
a := m^2-n^2,
\quad \quad
b := 2mn,
\quad \quad
c := m^2+n^2
\] con \(m>n\) coprimi tra cui uno pari e uno dispari, si ottiene: \[
m(m+n)(2+(m-n)n) = 280
\] equazione verificata per \(m=5\) ed \(n=2\), da cui \(a=21\), \(b=20\), \(c=29\).

[axpgn]