Un raggio di luce

[axpgn]

Due specchi sono uniti ad angolo fissato nel punto $O$.
Un raggio di luce viene proiettata all'interno dell'angolo da loro formato, parallelo ad uno dei lati.
Il raggio rimbalza un certo numero di volte, colpisce ad angolo retto nel punto $X$ lo specchio inferiore (quello parallelo) ed infine riemerge lungo il percorso originale.

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Qual è la distanza tra il raggio originale e lo specchio inferiore, quello parallelo al raggio?


Cordialmente, Alex

[sellacollesella]

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Giocando un po' con gli angoli, si ha:

e giocando un po' con la trigonometria, si ha: \[
\overline{UV} = \frac{\sin(3\alpha)}{\cos(\alpha)}\,\overline{OX}.
\] D'altro canto, l'angolo incidente \(3\alpha\) deve essere uguale all'angolo riflesso \(90°-\alpha\), per cui: \[
\overline{UV} = \frac{\sin(90°-\alpha)}{\cos(\alpha)}\,\overline{OX} = \overline{OX}
\] che è quanto richiesto.

[axpgn]

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Come arrivi a questo?

\[ \overline{UV} = \frac{\sin(3\alpha)}{\cos(\alpha)}\,\overline{OX}. \]

[sellacollesella]

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Come arrivi a questo? [...]

Tramite una catena di uguaglianze: \[
\overline{XY} = \tan(\alpha)\,\overline{OX}, \quad
\overline{YZ} = \frac{\overline{XY}}{\sin(2\alpha)}, \quad
\overline{ZU} = \frac{\sin(3\alpha)}{\sin(\alpha)}\,\overline{YZ}, \quad
\overline{UV} = \sin(2\alpha)\,\overline{ZU}
\] e poi semplificando.

[axpgn]

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Benissimo però volendo pignoleggiare ( ) hai dimostrato solamente il caso con una sola riflessione
E in generale? Come si può generalizzare (se si può) ?

[sellacollesella]

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Ed io che pensavo di aver già "riflettutto" a sufficienza! In ogni modo, hai ragione, mi ero dimenticato che il testo del problema era più generale dell'immagine proposta a titolo d'esempio.

Ho provato ad aggiungere un "batti e ribatti", da cui: \(\overline{UV} = \frac{\sin(5\alpha)}{\cos(\alpha)}\,\overline{OX}\) vincolata a \(5\alpha = 90°-\alpha\).

Pertanto, in generale, proiettando un raggio di luce in \(U\) parallelamente ad \(OV\):

• se \(\alpha > 45°\), il raggio di luce finirà subito esternamente allo specchio \(OV\);
  
  
• se \(\alpha = 45°\), il raggio di luce finirà subito nel punto \(V\) e tornerà indietro;
  
  
• se \(\alpha = 90°/n\), il raggio di luce rifletterà fintanto che internamente al triangolo rettangolo \(OVU\) si saranno formati \(n\) triangoli, finendo la corsa perpendicolarmente allo specchio \(OV\) nel punto \(X\) tale che \(\overline{OX} = \overline{UV}\), da cui non potrà che tornare indietro.

[axpgn]

Perfetto, molto bene.

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Tra l'altro hai già risposto all'ultima domanda che volevo farti ovvero che questo fenomeno (cioè l'impatto a 90° e ritorno da dove è venuto) non avviene per un qualsiasi angolo $alpha$ ma solo per angoli che siano frazioni di 45°.

Cordialmente, Alex

[sellacollesella]

Bel problema, li scegli sempre con cura, grazie del servizio GRATUITO che fai!

Speriamo che il forum si animi un po', perché mi sembrano sempre i soliti che girovagano.

Io spero nel nuovo forum, nel senso che spero di vederlo prima che mi ricadano i denti.

[axpgn]

Grazie

Speriamo che il forum si animi un po', perché mi sembrano sempre i soliti che girovagano.

Eh, beh, ...

[Quinzio]

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Con qualche facile considerazione si arriva a determinare che l'angolo tra gli specchi e' di $\pi/8$.
(Il raggio arriva con una angolo $0^\circ$, e se rimbalza su uno specchio inclinato con un certo angolo, ne esce con l'angolo raddoppiato. Dopo 2 rimbalzi con lo specchio inclinato l'angolo e' di $90^\circ$, quindi sono 2 raddoppi, cioe' x4, quindi l'angolo dello specchio inclinato e' $\pi/2 1/4 = \pi/8$

Chiamiamo i punti toccati dal raggio $A, B, C, X$.
$CX = OX tan (\pi/8)$
$BC = \sqrt2 CX = OX \sqrt2 tan (\pi/8)$
$AB = (BC)/\tan (\pi/8) = OX \sqrt2$
$d = (AB) /\sqrt2 = OX$
la distanza tra il raggio e lo specchio parallelo.