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Allora, dovrebbe essere possibile farlo, nel modo seguente.
Una nozione preliminare e' che si possono trasformare due rettangoli di uguale area, uno nell'altro, se il rapporto tra i lati dei due rettangoli e' un numero razionale.
Il metodo e' quello di prima, si trova il massimo comune denominatore (in termini di lunghezza) dei due lati, si fanno i tagli perpendicolari e si possono formare le strisce lunghe e strette. A questo punto i due rettangoli sono uguali.
Un altro fatto preliminare e' che i rapporti tra tutte le altezze dei due triangoli 6-9-13 e 12-12-4 sono tutti numeri razionali.
Questo perche' l'area e' la stessa, e dato che l'altezza e' = 2 area / lato, i rapporti tra le altezze sono i rapporti tra i lati dei due triangoli.
Per trasformare un triangolo nell'altro con un numero finito di tagli preservando il perimetro, si inizia ritagliando un triangolo interno da ciascun triangolo.
Il triangolo interno si ricava tracciando le parallele ai lati, in modo che la distanza tra i nuovi lati e il vertice opposto sia una frazione dell'altezza, che puo' essere a piacere. La fissiamo a 9/10 per dare un idea. I lati nuovi sono quindi "vicini" ai lati originali.
Tagliamo via il triangolo interno e lo teniamo da parte e siamo rimasti con il bordo dei triangoli originali.
Facciamo 3 tagli partendo dai vertici originali e andando ai nuovi vertici del triangolo interno (assente).
In questo modo abbiamo i bordi dei singoli lati staccati tra di loro.
Sono 3 pezzi e hanno la forma di trapezi scaleni.
Trasformiamo il trapezio scaleno in una figura composta un rettangolo e due triangoli laterali facendo dei tagli perpendicolari alle basi. I due triangoli vengono trasformati in rettangoli con un taglio parallelo all'ex-perimetro del triangolo, a meta' altezza.
Questi due nuovi rettangoli vengono riattaccati al corpo centrale del trapezio in modo da preservare l'ex-perimetro del triangolo.
Adesso l'operazione che segue e' difficile da spiegare a parole, ci vorrebbe un disegno e un'animazione, comunque si puo' riassumere come segue.
Il bordo da trapezoidale e' diventato "rettangolare" nel senso che non ci sono piu' lati obliqui.
Si ritagliano tutti i rettangoli elementari. Siccome l'area dei bordi cosi' ottenuti e' la stessa (*) e il perimetro e' lo stesso, e' possibile trasformare il bordo di un ex-triangolo nel bordo dell'altro, siccome i lati stanno in rapporti razionali.
Si trova il comune denominatore in termini di lunghezza, si tagliano ulteriormente i rettangoli, si forma la striscia lunga e si fa il processo inverso per arrivare al nuovo bordo.
I due triangoli interni si trasformano col metodo che ho descritto nel post precedente.
In quest'ultimo caso il perimetro non si preserva, ma il triangolo e' interno e quindi il perimetro non interessa.
Abbiamo quindi trasformato un bordo nell'altro, trasformato un triangolo interno nell'altro, i triangoli si riassemblano mettendo il triangolo interno dentro al suo bordo.
(*)
Si deve notare che i due triangoli interni hanno la stessa area. Infatti ogni volta che si riduce l'altezza di 9/10, nell'esempio fatto, e di taglia via il bordo, l'area del triangolo rimasto e' i 9/10 di quella originale. Dopo aver tagliato via i 3 bordi, il triangolo rimasto e' (9/10)^3 di quello originale.
Quindi anche i bordi hanno la stessa area, ad es. 1-(9/10)^3 dell'originale.