Tom's House

[axpgn]

John sta tentando di indovinare dove vive Tom; tutto quello che sa è che Tom vive in una strada le cui case sono numerate da $8$ a $100$ compresi.

John chiede: "È maggiore di $50$?"
E Tom risponde.
Mentendo.
Ma John non lo sa e prende per buone tutte le risposte .
John chiede di nuovo: "È un multiplo di $4$?"
Tom risponde di nuovo e di nuovo mente.
John chiede ancora: "È un quadrato perfetto?"
Tom stavolta risponde sinceramente.
Infine John chiede: "È un multiplo di $3$?"
Dopo che Tom ha risposto (non sappiamo se in modo sincero oppure no), John gli dice qual è il numero di casa sua.
Sbagliando.

Qual è il numero della casa di Tom?


Cordialmente, Alex

[3m0o]

Risposta (parziale):

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La risposta che tu vuoi credo sia \(81\)
Ma attualmente riesco solo a dedurre che può essere solo \(64,81,100\).

Soluzione (parziale perché non vedo come escludere un caso):

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Premessa: Suppongo che John sia un logico e indovina solo quando è certo (rispetto alle sue assunzioni) che ha la risposta esatta.

Se a John, che parte dal presupposto che le risposte siano tutte giuste, bastano queste domande per pensare di sapere la risposta (con le informazione che ha lui) significa che alla domanda "E' un quadrato perfetto" Tom ha risposto di "sì" dicendo il vero, altrimenti non avrebbe abbastanza informazione per determinare qual è il numero. Pertanto il numero è un quadrato perfetto.

Ora se il numero della casa di Tom è maggiore di 50, i quadrati sono \(64,81,100\) per cui le reali risposte alla domanda "E' un multiplo di 4?" e "E' un multiplo di 3?" non possono essere concordi, ovvero non possono essere entrambi sì oppure entrambe no. Pertanto se John sentisse "Sì" sia alla prima che alla terza domanda, gli basterebbe la risposta della seconda domanda (se questa è "No") per determinare il numero della casa (ovvero 81), oppure (se la risposta alla seconda domanda è anch'essa "Sì") avrebbe fatto una domanda diversa al ultima per distinguere il caso \(64,100\) perché entrambi non sono multipli di 3. Pertanto possiamo assumere che la prima risposta data da Tom sia "No", che vuol dire "Sì" poiché mente!
Ora se avesse ottenuto come risposte
1) No
2) No
3) Si
4) No
John penserebbe che il numero sia o 25 oppure 49, e quindi non indovinerebbe.
Se avesse ottenuto come risposte
1) No
2) No
3) Si
4) Si
John penserebbe che il numero è 9 e direbbe 9 sbagliando (questo è il caso C).
Rimangono come possibilità
Caso A)
1) No
2) Si
3) Si
4) No
e John pensa che sia il numero 16, e sbaglia.
Caso B)
1) No
2) Si
3) Si
4) Si
e John pensa che è il numero 36, e sbaglia

Nel primo caso A le reali risposte sono
1) Si
2) No
3) Si
4) Si
poiché non possiamo avere che la 2 e la 4 sono concordi nel caso in cui 1 e 3 siano entrambe Sì. Pertanto il numero è 81 e Tom ha mentito alla risposta 4), nel caso B) le reali risposte sono
1) Si
2) No
3) Si
4) Si
Che è la stessa cosa del caso A soltanto che Tom ha detto la verità alla risposta 4). Quindi Tom abita nella casa numero 81.

Nel caso C)... che mi sono scordato abbiamo che le reali risposte sono
1) Si
2) Si
3) Si
4) No
E in questo caso noi non sappiamo qual è il numero...

[axpgn]

Appena riesco a leggere tutto con calma, ti rispondo, adesso mangio
Comunque la premessa è corretta

[3m0o]

L'unico modo che vedo per escludere il caso C che mi crea problemi è il seguente ma non mi convince per niente

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Dopo due No No non è conveniente chiedere se il numero è un quadrato perfetto perché in media fai 0.28 domande in meno che rispetto al non chiederlo, mentre se se ottieni No Sì allora in media fai 0.54 domande in meno rispetto al non chiederlo. Però non mi convince.

[axpgn]

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... altrimenti non avrebbe abbastanza informazione per determinare qual è il numero. ...

Non è così.

[3m0o]

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... altrimenti non avrebbe abbastanza informazione per determinare qual è il numero. ...

Non è così.

O non ci capiamo oppure non sono d'accordo

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Devi pensare al fatto che dal punto di vista di John le risposte sono veritiere, non dal nostro che sappiamo che in realtà sta mentendo nella prima e nella seconda almeno.
Se risponde no al fatto che è un quadrato perfetto. Allora nei numeri minori di 50 (risp. nei numeri maggiori di 50) abbiamo se risponde si ai multipli di 4 e no ai multipli di 3 allora ha per esempio la scelta tra 20,28,32,40,44,... (risp. 52,56,68,76,...) e non sa! Se risponde no ai multipli di 4 e si ai multipli di 3 ha allora ha le possiblità 15,18,21,27,30,... (risp. 51,54,57,63,...) e non può sapere. Se risponde no ad entrambe allora ci sono i numeri primi e non può sapere quale. Se risponde si ad entrambe invece allora ci sono i multipli di 12 che non sono quadrati perfetti ovvero: 12,24,48 e rispettivamente 60,72,84 e 96 e quindi in ogni caso non può sapere e perché riesca a determinare un unico numero con queste domande (e le risposte) allora Tom deve rispondere si al fatto che è un quadrato perfetto.
In definitiva:
Risposte ottenuto alle domande
Caso A.1)
1) No
2) No
3) No
4) No
Alcuni numeri possibli per John: 11,13,17,19,23,...

Caso A.2)
1) No
2) Si
3) No
4) Si
Alcuni numeri possibli per John: 12,24,48

Caso A.3)
1) No
2) No
3) No
4) Si
Alcuni numeri possibli per John: 15,18,21,27,30,...

Caso A.4)
1) No
2) Si
3) No
4) No
Alcuni numeri possibli per John: 8,20,28,32,40,44,...

Caso B.1)
1) Si
2) No
3) No
4) No
Alcuni numeri possibli per John: 53,59,61,67,71,...

Caso B.2)
1) Si
2) Si
3) No
4) Si
Alcuni numeri possibli per John: 60,72,84,96

Caso B.3)
1) Si
2) No
3) No
4) Si
Alcuni numeri possibli per John: 51,54,57,63,...

Caso B.4)
1) Si
2) Si
3) No
4) No
Alcuni numeri possibli per John:52,56,68,76,...

In tutti i casi dopo le quattro domande e le quattro risposte per John c'è sempre più di una possibilità quindi non può pensare in nessun modo di sapere la risposta con certezza! Conclusione: Se John dopo queste domande e risposte ha indovinato (sbagliando) un numero allora Tom alla domanda 3) ha risposto sì.

[axpgn]

Hint fondamentale:

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John risponde in modo logicamente corretto sia che l'ultima risposta di Tom sia sincera oppure sia falsa.
Ovvero, detto in modo più esplicito: perché chiede se è un multiplo di tre?

[3m0o]

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... altrimenti non avrebbe abbastanza informazione per determinare qual è il numero. ...

Non è così.

O non ci capiamo oppure non sono d'accordo

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Devi pensare al fatto che dal punto di vista di John le risposte sono veritiere, non dal nostro che sappiamo che in realtà sta mentendo nella prima e nella seconda almeno.
Se risponde no al fatto che è un quadrato perfetto. Allora nei numeri minori di 50 (risp. nei numeri maggiori di 50) abbiamo se risponde si ai multipli di 4 e no ai multipli di 3 allora ha per esempio la scelta tra 20,28,32,40,44,... (risp. 52,56,68,76,...) e non sa! Se risponde no ai multipli di 4 e si ai multipli di 3 ha allora ha le possiblità 15,18,21,27,30,... (risp. 51,54,57,63,...) e non può sapere. Se risponde no ad entrambe allora ci sono i numeri primi e non può sapere quale. Se risponde si ad entrambe invece allora ci sono i multipli di 12 che non sono quadrati perfetti ovvero: 12,24,48 e rispettivamente 60,72,84 e 96 e quindi in ogni caso non può sapere e perché riesca a determinare un unico numero con queste domande (e le risposte) allora Tom deve rispondere si al fatto che è un quadrato perfetto.
In definitiva:
Risposte ottenuto alle domande
Caso A.1)
1) No
2) No
3) No
4) No
Alcuni numeri possibli per John: 11,13,17,19,23,...

Caso A.2)
1) No
2) Si
3) No
4) Si
Alcuni numeri possibli per John: 12,24,48

Caso A.3)
1) No
2) No
3) No
4) Si
Alcuni numeri possibli per John: 15,18,21,27,30,...

Caso A.4)
1) No
2) Si
3) No
4) No
Alcuni numeri possibli per John: 8,20,28,32,40,44,...

Caso B.1)
1) Si
2) No
3) No
4) No
Alcuni numeri possibli per John: 53,59,61,67,71,...

Caso B.2)
1) Si
2) Si
3) No
4) Si
Alcuni numeri possibli per John: 60,72,84,96

Caso B.3)
1) Si
2) No
3) No
4) Si
Alcuni numeri possibli per John: 51,54,57,63,...

Caso B.4)
1) Si
2) Si
3) No
4) No
Alcuni numeri possibli per John:52,56,68,76,...

In tutti i casi dopo le quattro domande e le quattro risposte per John c'è sempre più di una possibilità quindi non può pensare in nessun modo di sapere la risposta con certezza! Conclusione: Se John dopo queste domande e risposte ha indovinato (sbagliando) un numero allora Tom alla domanda 3) ha risposto sì.

Non hai detto nulla su questo...

[axpgn]

Per forza, perché è superato da quello che ho scritto ... è inutile che io lo commenti perché il punto dirimente è un altro ... e nel mio hint è anche piuttosto evidente ... IMHO

[3m0o]

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Siccome, a me sembra, che la mia analisi di ogni caso in cui Tom risponde "no" alla terza domanda di John porta ad avere almeno due scelte, sono abbastanza convinto che Tom non possa aver risposto "no", e ho aggiunto "abbastanza" solo perché sei tu! Quindi io non vedo dove sta l'errore nella mia analisi! Sono abbastanza sicuro non ci sia, per questo penso che magari non hai capito cosa intendevo perché non mi spiego un gran che bene!