Ipercubo

[Paolo k]

Quanti vertici, spigoli, facce, cubi 3D sono contenuti in un ipercubo 4D?

[Quinzio]

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16 vertici
32 spigoli
24 facce
8 cubi

[Quinzio]

Rilancio il problema:

quanti vertici, spigoli, facce, cubi e ipercubi ci sono in un $5$-cubo (un ipercubo 5D) ?

In generale quanti "oggetti" di dimensione $d$, con $d< n$, si possono contare in un $n$-cubo ?

[Paolo k]

In un cubo 5D ci sono:

32 vertici
80 spigoli
80 facce
40 cubi 3D
10 cubi 4D

vertici=$2^N$ , dove N è la dimensione dell'ipercubo. Io ho usato la logica delle traslazioni: un punto traslato è uno spigolo(o lato), uno spigolo traslato è una faccia 2D (Un quadrato), una faccia traslata è un cubo 3D, un cubo traslato è un cubo 4D . I numeri degli oggetti raddoppiano e vanno sommati agli oggetti della stessa dimensione ottenuti dalla traslazione. Per esempio un cubo 4d i 32 vertici generano per traslazione 64 vertici che devono essere sommati ai 16 vertici che traslando diventano spigoli per un totale di 80 spigoli.

[Quinzio]

Corretta la soluzione per cubo 5D, va bene il ragionamento che segue, pero' manca un po' di generalita'.
Nota di servizio: di solito in questa sezione le soluzioni si mettono sotto spoiler, in modo che che vuole provare a risolvere il problema non vede subito la soluzione.

Vediamo adesso di trovare il modo per una soluzione generica.

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Come esempio iniziale prendiamo un cubo 3D di volume 1.
Uno degli spigoli si puo' descrivere in questo modo: $(0, 1, -)$.
In forma di equazioni sarebbe $x = 0, y = 1, z \in [0,1]$
Il trattino sta ad indicare quindi una variabile libera di spaziare tra $0$ e $1$.
Questo e' un altro spigolo: $(0, -, 0)$ e questo un altro ancora: $(-, 1, 1)$.
Ed e' praticamente gia' tutto fatto.
Un oggetto di dimensioni $d$ in un cubo di dimensioni $n$, si esprime come un vettore di $n$ componenti in cui ci sono $d$ trattini (variabili libere).
I trattini devono permutare in tutte le posizioni possibili.
Le altre variabili, per ogni disposizione di trattini, assumono tutte le combinazioni di valori $0$ o $1$.
Quindi ci sono $((n), (d))$ (binomiale) modi di disporre i trattini e $2^{n-k}$combinazioni di $0$ o $1$.
Il numero totale di oggetti e': $((n), (d))\ 2^{n-d}$

[Benihime]

Provo

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Un $n$-cubo è identificato dalle equazioni
$$\begin{cases}
x_1 = -1; x_1=1\\
\dots\\
x_n = -1; x_n=1
\end{cases}$$
Un suo iperpiano di dimensione $n-k$ si ottiene intersecando $k$ di questi iperpiani, purché non paralleli tra loro. Il che corrisponde a scegliere $k$ variabili distinte $x_i$ (il che si può fare in $((n), (k))$ modi diversi) e assegnare loro i valori $1,-1$ (il che si può fare in $2^k$ modi diversi).\\
Quindi un $n$-cubo ammetterà $2^k((n), (k))$ $(n-k)$-cubi, nello specifico nel 4-cubo:
$2^4((4), (4))=16$ vertici
$2^3((4), (3))=32$ spigoli
$2^2((4), (2))=24$ facce
$2^1((4), (1))=8$ 3-cubi