Pelapatate

[axpgn]

Alice e Bob sono di corvè in cucina a pelar patate, al ritmo di una patata pelata al minuto.
Inizialmente hanno lo stesso numero di patate da pelare ma Alice ogni due patate pelate ne prende una non pelata dal suo mucchio e la getta in quello di Bob.
Ad un certo momento, Bob ha il doppio di patate da pelare rispetto a quelle di Alice.
Cinque minuti più tardi, il rapporto è aumentato a $7$ contro $3$.
Quando diventerà tre a uno (e quante erano inizialmente le patate da pelare)?

(Assumiamo che il completamento della pelatura della patata da parte di Alice e il suo gettare la patata da pelare nella pila di Bob occorrano simultaneamente alla fine di ogni secondo minuto).


Cordialmente, Alex

[Drazen77]

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Avevano 100 patate a testa.
Dopo 40 minuti Bob ha il doppio delle patate da pelare rispetto ad Alice (80-40).
Dopo 5 minuti il rapporto è di 7 a 3 (77-33).
Dopo altri 5 minuti il rapporto è di 3 a 1 (25-75).
W la patata!

[axpgn]

Giusto ... a metà

[Quinzio]

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All'inizio avevano 125 patate a testa.
Diventa 3:1 dopo 63 minuti (93:31).

$A$: Alice, $B$: Bob

Al minuto $T_1$:
$B_1 = 2A_1$

Al minuto $T_2 = T1+5$:
$3B_2 = 7A_2$

Se $T1$ e' pari, Alice fa in tempo a tirare 3 patate, altrimenti ne tira solo 2.
Quindi in 5 minuti, la differenza tra i mucchi e':

$B_2-B_1 = 2+E-5$
$A_2-A_1 = -(2+E)-5$

Va risolto il sistemino in 4 incognite
${ ( B_1 = 2A_1 ),( 3B_2 = 7A_2),( B_2-B_1 = 2+E-5 ),( A_2-A_1 = -(2+E)-5 ):}$

$E$ assume valore $0$ o $1$ in modo che le soluzioni siano intere.
Si trova
$A_1 = 50, B_1 = 100$
$A_2 = 42, B_2 = 98$

Al $T1$ la differenza tra i mucchi era di 50 patate, e siccome la differenza aumenta "in media" di una patata al minuto,
$T1 = 50$. Il mucchio di Bob cala "in media" mezza patata al minuto, quello di Alice di 3 e mezzo, quindi era partito da 125 patate, come per Alice.

Si arriva a 3:1 quando

$(125 - 1/2 T)/(125 - 3/2 T) = 3$
oppure dal minuto 1
$(124 - 1/2 T)/(124 - 3/2 T) = 3$
Si sceglie quella che da una soluzione intera.

[Quinzio]

Giusto ... a metà

Giu ?

[Drazen77]

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Due soluzioni valide:

1)
Avevano 100 patate a testa:
Dopo 40 minuti Bob ha il doppio delle patate da pelare rispetto ad Alice (80-40).
Dopo altri 5 minuti il rapporto è di 7 a 3 (77-33).
Dopo ulteriori 5 minuti il rapporto è di 3 a 1 (75-25).

2)
Avevano 101 patate a testa:
Dopo 41 minuti Bob ha il doppio delle patate da pelare rispetto ad Alice (80-40).
Dopo altri 5 minuti il rapporto è di 7 a 3 (77-33).
Dopo ulteriori 5 minuti il rapporto è di 3 a 1 (75-25).

W la patata!

[axpgn]

@Drazen77
Giusto a metà, te l'ho già detto
Uno sì e uno no.
Come hai proceduto?


@Quinzio
No.

[Quinzio]

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Era sbagliato adesso e' giu/sto.

t = 0
b = 100
a = 100

Bob ha il doppio di patate
t = 40
a = 40
b = 80

Bob/Alice = 7/3
t = 45
a = 33
b = 77

Bob/Alice = 3
t = 50
a = 25
b = 75

[Quinzio]

@Drazen77
Giusto a metà, te l'ho già detto
Uno sì e uno no.
Come hai proceduto?

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B/A e' il rapporto patate Bob diviso Alice.
Alice getta la patata nei minuti pari (2,4,6,...)
Se B/A = 2 al tempo t=41,
i 5 minuti successivi sono 42, 43, 44, 45, 46.
Alice avra' gettato 3 patate e ne ha pelate 5, quindi il suo mucchio e' calato di 8.

Ma 40 - 8 non fa 33.
La soluzione 2 non va bene.

[axpgn]

Ok, metà del problema l'avete risolto

Però non avete ancora risolto l'altra metà ...