Somma di dadi

[gabriella127]

@gabriella

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Ora immagina il gioco: io lancio due dadi e ti dico: "almeno uno dei due risultati è 1". Adesso ti ho messa nella situazione di sopra, ovvero ho escluso una serie di outcome e la probabilità che la somma sia dispari è più alta. Quindi se tu dovessi scommettere ti converrebbe scommettere sulla somma dispari, giusto?

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Questo l'abbiamo già detto, non ho capito di cosa stai parlando

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Il punto è che se accetti quello che ti ho scritto qui, segue che la tua scommessa ha valore atteso positivo. Il che è bizzarro perchè la strategia vincente è indipendente dal numero che ti dico, è sempre "scommetti sulla somma dispari". C'è un problema (sottile) nel mio "ragionamento" che hai quotato.

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L'ho detto sopra, ridico in altra salsa: il valore atteso che la somma sia dispari, è positivo nel caso venga prima detto cos'è uno dei due numeri, cioè se scommetti dopo aver saputo che è stato annunciato un numero, è il valore atteso condizionato a questo. (E si sa che dopo l'annuncio di un numero si sta scegliendo in un insieme in cui mancano le coppie di due pari o di due dipari, a seconda del numero annunciato).
Ma non si può da questo saltare alla conclusione che il valore atteso a priori sia positivo, perché uno ha l'idea di fare la somma delle probabilità dei singoli casi in cui vien annunciato prima un numero: non si può dire: "visto che qualunque numero annunciato la probabilità di dispari è maggiore, l'unione dei casi dirà che per il dispari è tout court, ex ante, maggiore".

Come si spiega la discrepanza? Se uno vuole calcolare la probabilità di somma dispari a partire da quelle probabilità ex post (dopo annuncio numero), non è che può fare la somma delle probabilità dei singoli casi, deve usare il teorema delle probabilità totali togliendo le intersezioni, visto che non si tratta di eventi incompatibili.
E scommetto che viene $1/2$.

[axpgn]

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Quando tiri due dadi metà delle somme è pari e l'altra metà è dispari.
Quando annunci che è uscito il numero 1, non cambia niente perché hai sei coppie che hanno 1 come primo numero e altre sei coppie che hanno 1 come secondo numero.

[gabriella127]

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Allora. Metto qualche numero se no non ci capiamo. Ricordo che la domanda è: qual è l'inghippo nel ragionamento riportato da hydro (non se è vero che la probabilità di somma dispari è maggiore):

Ok, forse non mi sono spiegato bene. Lancio due dadi, e vi dico: “almeno uno dei due tiri e’ un 1”. Siccome i lanci possibili sono $(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)$ e quindi sono 11 di cui 5 hanno somma pari, e’ piu’ probabile che la somma sia dispari che pari (un po’ come il fatto che se io ho due figli e vi dico che almeno uno e’ maschio, la probabilità che il secondo sia maschio non e’ $1/2$ ma $1/3$). D’altra parte se io vi dico “almeno uno dei due tiri e’ un 2”, lo stesso ragionamento applica identico. Ma anche se vi dico “almeno dei due tiri e’ un 3”, e lo stesso con 4,5,6. Sembra che ne consegua che la probabilità che la somma sia dispari sia maggiore della probabilità che la somma sia pari. D’altra parte se scrivete tutti i lanci possibili di 2 dadi vi accorgerete che la meta’ esatta ha somma pari. Dove sta l’inghippo?

Calcoliamo la probabilità che esca una somma dispari usando le probabilità condizionate.

Abbiamo stabilito che la probabilità che esca dispari una volta detto 'è uscito questo numero' è $6/11$,
probabilità condizionata che chiamo $P(D//A)$, dove $D$ è l'evento 'è uscita somma dispari' e $A$ è l'evento 'è uscito il numero tot $A$ in uno dei due lanci'.

Quindi $P(D//A)=6/11 >1/2$,


A questo punto l'uomo della strada, malamente imbevuto di calcolo delle probabilità (non noi di certo ) direbbe:

"La probabilità una volta annunciato un numero che la somma sia dispari è $P(D//A)=6/11$, quindi se vado a guardare l'unione dei possibili casi (numero uscito e annunciato) mi calcolo la probabilità a priori che la somma sia dispari, e risulterà maggiore di $1/2$ visto che in ogni caso singolo è maggiore di $1/2$.
Andiamo a vedere qual è la probabilità a priori che esca una somma dispari nel lancio di due dadi, a partire da questa conoscenza che è $P(D//A)=6/11>1/2$, sapendo che ho sei numeri possibili che escono in un singolo lancio di dado":

Probabilità che esca una somma dispari=
= $(1/6+1/6-1/36)6/11+ (1/6+1/6-1/36)6/11+ (1/6+1/6-1/36)6/11+ (1/6+1/6-1/36)6/11+ (1/6+
1/6-1/36)6/11+ (1/6+1/6-1/36)6/11= (1/6+1/6-1/36 )6/11\cdot 6= 1$

dove $(1/6+1/6-1/36)$ è la probabilità che esca un numero specifico in due lanci: probabilità che esca nel primo lancio più probabilità che esca nel secondo meno la probabilità dell'intersezione). (E poi lo annuncio, ma vabbè, l'annuncio non serve a niente).

Il procedimento è evidentemente sbagliatissimo, addirittura, se non ho sbagliato i calcoli, esce $1$: si conclude che è certo che esce somma dispari!



Qual è l'errore?
Che quella somma non si può fare, sto applicando le probabilità totali a vanvera , perché gli eventi 'è uscito il $2$ in uno dei due lanci, 'è uscito il $3$ in uno dei due lanci' etc., non sono incompatibili, ci sono le intersezioni, ad esempio può uscire il risultato $2,3$.

Quindi devo applicare le probabilità totali sottraendo le intersezioni.