Somma di dadi

[gabriella127]

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Per la verità, nel caso dei figli non vedo intersezioni: se dico 'un figlio è maschio'
i casi possibili sono tre:

maschio-maschio
maschio- femmina
femmina- maschio,

che sono incompatibili,
e la probabilità che entrambi siano maschi è $1/3$.


Quello che voglio dire: l'inghippo è che dal fatto che, una volta annunciato un numero, nei singoli casi la probabilità di somma dispari sia maggiore ($6/11$), non puoi evincere che in assoluto la probabilità di somma dispari sia maggiore, perché se vai a fare l'unione degli eventi dei singoli casi devi togliere le intersezioni.


Se qualcuno (badate ben, non io, cit. ) avesse la pazienza di mettersi a fare i calcoli dell'unione dei vari casi in cui si annuncia che è uscito un numero, credo che le probabilita di pari e dispari verrebbero $1/2$ e $1/2$, com'è naturale ex ante.

[gabriella127]

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Provo a fare un parallelo con il gioco dei fratelli maschio e femmina, anche se mettiamo altra carne a cuocere, e in queste cose è più facile pensare che comunicare.

Però i problemi secondo me sono uguali, se al posto di maschio-femmina mettiamo pari e dispari.

La somma pari può venire da una coppia pari-pari, o da una coppia dispari-dispari. Una somma dispari da dispari-pari o pari-dispari.

Si può ricondurre, nel caso dei fratelli a dire: 'dello stesso sesso' o 'di sessi diversi'.

Annuncio:
"Uno dei due è maschio". Probabilità che siano i sessi diversi stesso sesso qual è?

Le coppie piossibili sono
Maschio maschio
maschio femmina
femmina femmina

Quindi la probabilità che siano di sessi diversi è $2/3$

Annuncio.
"Uno dei due è femmina". Probabilità che siano di sessi diversi?

Le coppie possibili sono:

Femmina femmina
maschio femmina
femmina maschio

Quindi, probabilità che siano di sessi diversi $2/3$

Da questo non puoi evincere che ex ante la probabilità che siano di sessi diversi è maggiore.
Viene così perché nel singolo caso si è esclusa una delle coppie dello stesso sesso.

Allo stesso modo, nel caso dei numeri, quando annunci un numero, ad esempio $2$, stai escludendo una coppia di due numeri dispari, cioè di somma pari, o se annunci ad esempio $1$ stai escludendo una coppia di numeri pari ,cioè di somma apri. PercIò viene che è più probabile la somma dispari.

Ma sei vai a fare il calcolo della probabilità ex ante, con il teorema delle probabilità totali, le probabilità devono tornare $1/2$ e $1/2$.

[hydro]

@gabriella

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Sul fatto che non si possa dedurre che la probabilità che la somma sia dispari è più alta non ci piove, perchè ex ante sappiamo che le probabilità sono uguali. Sul fatto che se io ho lanciato due dadi e uno dei due risultati è 1 (o anche qualsiasi altro numero) la probabilità che la somma sia dispari è più alta, anche non ci piove (non c'è nessun inghippo qua, è tutto vero). Ora immagina il gioco: io lancio due dadi e ti dico: "almeno uno dei due risultati è 1". Adesso ti ho messa nella situazione di sopra, ovvero ho escluso una serie di outcome e la probabilità che la somma sia dispari è più alta. Quindi se tu dovessi scommettere ti converrebbe scommettere sulla somma dispari, giusto?

[gabriella127]

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hydro, non ho capito allora qual è la domanda, e non ho capito che stai dicendo.
Io ho risposto alla domanda che hai posto, qual è l'inghippo?
Nel tuo post precedente, per chiarire il problema:

Ok, forse non mi sono spiegato bene. Lancio due dadi, e vi dico: “almeno uno dei due tiri e’ un 1”. Siccome i lanci possibili sono $(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)$ e quindi sono 11 di cui 5 hanno somma pari, e’ piu’ probabile che la somma sia dispari che pari (un po’ come il fatto che se io ho due figli e vi dico che almeno uno e’ maschio, la probabilità che il secondo sia maschio non e’ $1/2$ ma $1/3$). D’altra parte se io vi dico “almeno uno dei due tiri e’ un 2”, lo stesso ragionamento applica identico. Ma anche se vi dico “almeno dei due tiri e’ un 3”, e lo stesso con 4,5,6. Sembra che ne consegua che la probabilità che la somma sia dispari sia maggiore della probabilità che la somma sia pari. D’altra parte se scrivete tutti i lanci possibili di 2 dadi vi accorgerete che la meta’ esatta ha somma pari. Dove sta l’inghippo?

A questo, qual è l'inghippo, ho risposto, cone si spiega questa falsa apparenza che i casi di somma dispari sono più probabili.
Che non ci piove è chiaro, il ragionamento è abbastanza evidente, e non saprei come altro spiegare qual è il vizio logico del possibile ragionamento.
Ma non ci piove dopo che uno l'ha detto, quando uno dice una cosa dopo è ovvia, ma nessuno fin'ora l'aveva detto.

Poi, se la domanda è un'altra, non l'ho capita, io ho capito quello che hai scritto sopra.

[gabriella127]

@gabriella

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Ora immagina il gioco: io lancio due dadi e ti dico: "almeno uno dei due risultati è 1". Adesso ti ho messa nella situazione di sopra, ovvero ho escluso una serie di outcome e la probabilità che la somma sia dispari è più alta. Quindi se tu dovessi scommettere ti converrebbe scommettere sulla somma dispari, giusto?

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Questo l'abbiamo già detto, non ho capito di cosa stai parlando

[3m0o]

Io temo di non aver capito la domanda.

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Denotiamo \(S_1= \text{ la somma è pari} \) e \(S_2= \text{la somma è dispari} \) e l'evento \(A_n= \text{è uscito almeno un } n \) con \( 1 \leq n \leq 6 \).
Se ho capito bene stai chiedendo: Perché è vero che \( \mathbb{P}(S_1)=\mathbb{P}(S_2)=1/2\) se abbiamo che \( \mathbb{P}\left( \bigcup_{1\leq n \leq 6} A_n \right) = 1 \) e \( \mathbb{P}\left(S_1 \mid A_n \right) = \frac{5}{11} \) e \( \mathbb{P}\left(S_2 \mid A_n \right) = \frac{6}{11} \) per ogni \( 1 \leq n \leq 6 \) ?
E' questo che stai chiedendo?
Insomma devo scommettere prima o dopo che ci dici il numero?

Edit:

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Se stai chiedendo questo, il punto è che gli eventi \(A_n\) non sono disgiunti, infatti se \(n \neq m \) abbiamo che \(A_n \cap A_m = \{ (m,n), (n,m) \} \). E quindi non è vero che
\[\mathbb{P}(S_1) = \sum_{1 \leq n \leq 6} \mathbb{P}(S_1 \mid A_n) \mathbb{P}(A_n) < \sum_{1 \leq n \leq 6} \mathbb{P}(S_2 \mid A_n) \mathbb{P}(A_n) = \mathbb{P}(S_2) \]
l'errore sta nella prima e nel ultima uguaglianza, mentre la disuguaglianza è giusta!

[hydro]

@gabriella

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Ora immagina il gioco: io lancio due dadi e ti dico: "almeno uno dei due risultati è 1". Adesso ti ho messa nella situazione di sopra, ovvero ho escluso una serie di outcome e la probabilità che la somma sia dispari è più alta. Quindi se tu dovessi scommettere ti converrebbe scommettere sulla somma dispari, giusto?

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Questo l'abbiamo già detto, non ho capito di cosa stai parlando

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Il punto è che se accetti quello che ti ho scritto qui, segue che la tua scommessa ha valore atteso positivo. Il che è bizzarro perchè la strategia vincente è indipendente dal numero che ti dico, è sempre "scommetti sulla somma dispari". C'è un problema (sottile) nel mio "ragionamento" che hai quotato.

[hydro]

Io temo di non aver capito la domanda.

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Denotiamo \(S_1= \text{ la somma è pari} \) e \(S_2= \text{la somma è dispari} \) e l'evento \(A_n= \text{è uscito almeno un } n \) con \( 1 \leq n \leq 6 \).
Se ho capito bene stai chiedendo: Perché è vero che \( \mathbb{P}(S_1)=\mathbb{P}(S_2)=1/2\) se abbiamo che \( \mathbb{P}\left( \bigcup_{1\leq n \leq 6} A_n \right) = 1 \) e \( \mathbb{P}\left(S_1 \mid A_n \right) = \frac{5}{11} \) e \( \mathbb{P}\left(S_2 \mid A_n \right) = \frac{6}{11} \) per ogni \( 1 \leq n \leq 6 \) ?
E' questo che stai chiedendo?
Insomma devo scommettere prima o dopo che ci dici il numero?

Edit:

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Se stai chiedendo questo, il punto è che gli eventi \(A_n\) non sono disgiunti, infatti se \(n \neq m \) abbiamo che \(A_n \cap A_m = \{ (m,n), (n,m) \} \). E quindi non è vero che
\[\mathbb{P}(S_1) = \sum_{1 \leq n \leq 6} \mathbb{P}(S_1 \mid A_n) \mathbb{P}(A_n) < \sum_{1 \leq n \leq 6} \mathbb{P}(S_2 \mid A_n) \mathbb{P}(A_n) = \mathbb{P}(S_2) \]
l'errore sta nella prima e nel ultima uguaglianza, mentre la disuguaglianza è giusta!

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Questo è tutto chiaro. La mia domanda è: trova l'errore nel seguente ragionamento.

Io tiro due dadi, ti dico che è uscito almeno un $X$, con $X\in \{1,\ldots,6\}$ e senza mentire, e ti chiedo di scommettere sulla parità della somma (con pagamento alla pari ovviamente, e dopo che hai avuto l'informazione da parte mia). Siccome quando c'è almeno un $X$ la probabilità che la somma sia dispari è più alta, ti conviene scommettere sul fatto che la somma sia dispari. Quindi, la tua scommessa ha valore atteso positivo. Siccome questo è indipendente da $X$, una strategia con valore atteso positivo è scommettere sempre sul fatto che la somma sia dispari.

E' chiaro che la strategia "scommettere sempre sulla somma dispari" ha valore atteso 0, non sto chiedendo di dimostrarlo, sto chiedendo quale delle implicazioni di sopra è sbagliata.

[3m0o]

Edite

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Ok, ho capito, ora sono fuori e non posso controllare, ma direi che l'errore sta nel fatto che non è il valore atteso ad essere positivo, ma il valore atteso condizionato (condiational expectation) ad essere positivo, e dunque certo che dipende da X, per esempio se mi dici X=x, l'evento (y,z) con y e z diversi da x, che a priori è un evento possibile, non è più possibile

[axpgn]

Boh, a me sembra che abbiamo detto la stessa cosa ...