Il gioco del dado

[Paolo k]

Ci sono due giocatori,A e B. Hanno un dado solo ed il primo che lanciandolo otterrà 6 vince. Il dado non è truccato. Se inizia A a tirare il dado Ha una probabilità immediata di vincere pari a $1/6$, se non esce 6 il turno per lanciare il dado passa a B e si va avanti con l'alternazione fino a quando esce un 6. A ha ovviamente una probabilità totale di vincere maggiore di quella di B perchè tira il dado per primo; qual'è questa probabilità?

[Quinzio]

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6/11

[Paolo k]

Esatto, puoi postare il procedimento col quale hai trovato la probabilità giusta?

[Quinzio]

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Un quesito equivalente a quello proposto e' questo:
un dado viene lanciato ripetutamente fino a che non compare la cifra 6 (o qualunque delle 6 cifre).
Qual e' la probabilita' che il cifra 6 compaia ad un lancio dispari ?

Vediamo la probabilita' dei primi lanci dispari.
$P{n = 1} = 1/6$
$P{n = 3} = 1/6 * (5/6)^2$
$P{n = 5} = 1/6 * (5/6)^4$

Sommando tutti i lanci dispari:
$P{n = "dispari"} = 1/6 \sum_(n= 0)^(\infty) (5/6)^(2n) = 1/6 \sum_(n= 0)^(\infty) (25/36)^n = 1/6 36/11 = 6/11$