Esperimento sulla caduta delle uova

[axpgn]

Supponiamo di voler conoscere da quali finestre di un palazzo di $36$ piani è possibile lasciar cadere un uovo senza che si rompa e da quali invece si spacca.

Preliminarmente facciamo alcune assunzioni:
- un uovo che sopravvive ad una caduta si può usare di nuovo.
- un uovo rotto si scarta
- l'effetto della caduta è lo stesso per tutte le uova
- se un uovo si rompe dopo una caduta, si romperebbe se lasciato cadere da una finestra più in alto
- se un uovo sopravvive ad una caduta, sopravvivrebbe anche cadendo da una finestra più in basso
- non è escluso che un uovo si rompa cadendo dalla finestra del primo piano così come non è escluso che sopravviva ad una caduta dall'ultimo piano.

Se un solo uovo è disponibile c'è un solo modo per ottenere il risultato corretto: si lascia cadere l'uovo dalla finestra del primo piano, se sopravvive si passa al secondo, se sopravvive si passa al terzo e così via finché si rompe.
Nel caso peggiore potrebbero volerci $36$ tentativi.

Supponiamo di avere due uova.
Qual è il minor numero di tentativi che garantiscano di ottenere il risultato corretto in tutti i casi?


Cordialmente, Alex

[Paolo k]

Essendo le due uova uguali se uno solo si rompe dopo 36 tentativi anche l'altro dovrebbe fare lo stesso e quindi ci vorrebbero 36 tentativi anche usando due uova alla volta.

[hydro]

Essendo le due uova uguali se uno solo si rompe dopo 36 tentativi anche l'altro dovrebbe fare lo stesso e quindi ci vorrebbero 36 tentativi anche usando due uova alla volta.

Ovviamente puoi buttare un uovo solo alla volta... altrimenti la domanda non avrebbe senso.

[gabriella127]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Con l'idea che ho avuto, il numero minimo di tentativi è $11$.
L'idea è quella di fare prima tentativi da piani intermezzati da intervalli, es. ogni due o tre piani, o più, e poi quando un uovo si rompe, controllare i piani dell'intervallo sottostante.

Poiché $36$ è divisibile per un sacco di roba, cominciamo dai divisori.

Cominciamo da $6$.
Quindi in prima battuta controllo i piani: $6$, $12$, $18$, $24$, $30$, $36$. Quindi $6$ piani, al massimo, da controllare.
Tra ogni due piani controllati ci sono $5$ piani intermedi.

Se l'uovo non si rompe mai abbiamo finito.
Se l'uovo si rompe da un piano, controlliamo, ovviamente con l'altro uovo non spiaccicato, i $5$ piani dell'intervallo sottostante, andando dal basso verso l'alto.
Quindi al massimo abbiamo $6$+$5=11$ piani controllati, questo nel caso l'uovo si rompe dal $36$ e ultimo piano.

Se si fa la prova con gli altri divisori si vede che i tentativi necessari sono maggiori di $11$.

Naturalmente non è necessario che siano divisori, ma controllando con numeri non divisori viene sempre$\geq 11$

(per la verità non li ho controllati tutti a uno a uno, mi scocciavo, , ma l'idea è questa, alla fine il controllo è meccanico, può pure saltare fuori un caso minore di $11$, non credo, ma è un fatto meccanico che non cambia il metodo.
E comunque, se c'è un intervallo maggiore di $11$ non può funzionare. Ho individuato anche una formula per calcolare il numero di tentativi, ma non è interessante, si vabbe', per spicciarsi a fare i conti).

Non è ovviamente necessario che gli intervalli tra i piani controllati siano regolari, ma l'intervallo regolare garantisce che il numero massimo di piani in un intervallo sia minimo.

[hydro]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sicuramente si può fare in al più $9$ tentativi. Si tira il primo uovo dal piano $9$. I tentativi successivi si faranno a $17,24,30$ e $35$. Se l'uovo si rompe ad esempio al piano $24$ abbiamo fatto $3$ tentativi e ci rimangono da controllare i piani da $18$ a $23$ con un solo uovo, quindi altri $6$ tentativi. In ogni caso, ne faremo al più $9$.

Ora ci chiediamo se si può fare di meglio. Sia $n_1$ il piano da cui si butta il primo uovo. Se si rompe e siamo sfortunati, rimaniamo con $1$ uovo ed un palazzo di $n_1-1$ piani, quindi ci tocca fare altri $n_1-1$ tentativi, $n_1$ in tutto. Ne consegue che, se si vuol fare meglio di $9$, dev'essere $n_1<9$. D'altra parte, se buttando il primo uovo dal piano $n_1$ riusciamo a fare meno di $9$ tentativi in ogni caso, allora sicuramente riusciamo a fare di meglio anche buttandolo dal piano $n_1+1$, purchè $n_1+1<9$ (infatti se non si rompe avremo un palazzo ancora più basso da controllare, se si rompe dovremo fare $n_1+1$ tentativi nel caso peggiore). Ne consegue che se esiste una strategia che batte $9$ tentativi, ne esiste anche una che batte $9$ tentativi e tale che il primo piano a cui si butta l'uovo sia l'$8$. In altre parole, possiamo assumere $n_1=8$. Siamo rimasti con un palazzo di $28$ piani, e dobbiamo fare meglio di $8$ tentativi. Ma adesso possiamo reiterare il ragionamento: il secondo uovo dobbiamo tirarlo al più dal piano $15$, che altrimenti se si rompe abbiamo già fatto $2$ tentativi e dobbiamo farne almeno altri $7$. D'altronde se riusciamo a battere $8$ tentativi tirando dal piano $n_2$ possiamo farlo anche tirando da $n_2+1$, a patto che $n_2+1\le 15$. Allora possiamo assumere che il secondo tentativo sia dal piano $15$. Proseguendo, dovremo tirare da $8,15,21,26,30,33$. Ma se l'uovo non si rompe al piano $33$ avremo fatto già $6$ tentativi e ce ne vorranno altri $3$ nel caso peggiore, $9$ in tutto. Quindi non si può fare meglio di $9$.

[gabriella127]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Hydro, così non controlli il piano 36, va controllato perché può darsi che l'uovo non si rompe mai, nemmeno dal $36$, così dice il testo. Se controllinil m$36$ viene $10$ tentativi, non $9$.

[hydro]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Hydro, così non controlli il piano 36, va controllato perché può darsi che l'uovo non si rompe mai, nemmeno dal $36$, così dice il testo. Se controllinil m$36$ viene $10$ tentativi, non $9$.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Non capisco, se non si rompe nemmeno dal $36$ avrai tentato i piani $9,17,24,30,35,36$, sono $6$ tentativi...

[gabriella127]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Hydro, così non controlli il piano 36, va controllato perché può darsi che l'uovo non si rompe mai, nemmeno dal $36$, così dice il testo. Se controllinil m$36$ viene $10$ tentativi, non $9$.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Non capisco, se non si rompe nemmeno dal $36$ avrai tentato i piani $9,17,24,30,35,36$, sono $6$ tentativi...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Volevo dire, se testi il piano 36 invece del 35 sono 10 tentativi, oppure devi testare il 36 a parte, e allora ok, ma lo devi testare, tutto qui. Perché il gioco chiede da quale piano si rompe, e può darsi mai.

[hydro]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Hydro, così non controlli il piano 36, va controllato perché può darsi che l'uovo non si rompe mai, nemmeno dal $36$, così dice il testo. Se controllinil m$36$ viene $10$ tentativi, non $9$.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Non capisco, se non si rompe nemmeno dal $36$ avrai tentato i piani $9,17,24,30,35,36$, sono $6$ tentativi...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Volevo dire, se testi il piano 36 invece del 35 sono 10 tentativi, oppure devi testare il 36 a parte, e allora ok, ma lo devi testare, tutto qui. Perché il gioco chiede da quale piano si rompe, e può darsi mai.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sìsì non l'ho scritto perchè mi sembrava ovvio, anche il piano 36 va controllato. In ogni caso non sono mai più di 9 tentativi. Tra l'altro è interessante notare che se i piani fossero 35 la strategia analoga che parte dal piano $8$ garantirebbe al più $8$ tentativi.

[gabriella127]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Volevo dire, se testi il piano 36 invece del 35 sono 10 tentativi, oppure devi testare il 36 a parte, e allora ok, ma lo devi testare, tutto qui. Perché il gioco chiede da quale piano si rompe, e può darsi mai.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sìsì non l'ho scritto perchè mi sembrava ovvio, anche il piano 36 va controllato. In ogni caso non sono mai più di 9 tentativi. Tra l'altro è interessante notare che se i piani fossero 35 la strategia analoga che parte dal piano $8$ garantirebbe al più $8$ tentativi.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sì, certo, a ogni piano che si toglie si accorcia l'intervallo massimo da controllare, ma il succo è sempre lo stesso, fare in modo da isolare un intervallo corto da controllare, controllato il quale è risolto.
Non so se ci possano essere strategie alternative