Rivoluzioni

[axpgn]

Otto monete sono disposte come in figura (una al centro, altre sei attorno a corona e l'ottava tangente a due della corona)

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Supponendo che l'ottava moneta rotoli attorno alle sei della corona ritornando alla fine al proprio posto, quante rivoluzioni su sé stessa avrà fatto?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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4

In generale, siano $N$ dischi disposti su una circonferenza, in modo che i centri dei dischi siano sulla circonferenza e ogni disco tocchi quelli a fianco.
Un disco che rotola sull'esterno degli $N$ dischi compie $2(N/6+1)$ rivoluzioni.
Nel quiz, $N=6$, quindi ci sono $4$ rivoluzioni.

[axpgn]

Benissimo!

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Sapresti dimostrare questo?

Un disco che rotola sull'esterno degli $ N $ dischi compie $ 2(N/6+1) $ rivoluzioni.

[sellacollesella]

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Visto che siamo in sala giochi ... giochiamo!

Assumiamo di avere in tasca \(n\ge 2\) monete di raggio \(r_1>0\) e una moneta di raggio \(r_2>0\).

Quindi, disponiamo le \(n\) monete tangenti tra loro e con i centri su una circonferenza, da cui: \[\small
(x,y)=\rho_1\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right),\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right)+r_1\left(\cos\left(u+\frac{2k\pi}{n}\right),\sin\left(u+\frac{2k\pi}{n}\right)\right),\quad u\in\left[-\frac{n+2}{2n}\pi,\frac{n+2}{2n}\pi\right]
\] che parametrizza il bordo petaloso delle \(n\) monete con \(\rho_1:=r_1/\sin(\pi/n)\) e \(k=0,1,\dots,n-1\).

Ciò fatto, disponiamo la moneta rimanente tangente esternamente e allineata a quella corrispondente a \(k=0\) e la facciamo rotolare affinché risulti tangente anche alla moneta corrispondente a \(k=1\), da cui: \[
(x,y)=\rho_2\left(\cos\left(\frac{\pi}{n}\right),\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)+r_2\left(\cos(v),\sin(v)\right),\quad v\in(-\pi,\pi]
\] che parametrizza il bordo della moneta rimanente con \(\rho_2:=\sqrt{(2r_1+r_2)r_2}+r_1/\tan(\pi/n)\).

In particolare, il punto di tangenza tra tale moneta e quella corrispondente a \(k=0\) è individuato da: \[
\bar{u}=\text{atan2}\left(\rho_2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right),\rho_2\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)-\rho_1\right)
\] ossia, in forma espansa: \[
\bar{u}=\text{atan2}\left(\sqrt{(2r_1+r_2)r_2}\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)+r_1\cos\left(\frac{\pi}{n}\right),\sqrt{(2r_1+r_2)r_2}\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)-r_1\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)
\] che è l'angolo spazzato dalla moneta esterna rotolando nel modo sopra descritto e qui illustrato:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)

Siamo al traguardo! Infatti, non rimane altro che imporre la seguente proporzione: \[
n_r : 2\bar{u}\,n = \frac{r_1+r_2}{r_2} : 2\pi
\] da cui segue che il numero di rivoluzioni della moneta esterna sul bordo petaloso è: \[
\boxed{n_r=\frac{r_1+r_2}{r_2}\frac{n\,\bar{u}}{\pi}}
\] che nel caso particolare in cui sia \(r_2=r_1\) (bastava partire da qui) si semplifica in: \[
n_r=\frac{r_1+r_1}{r_1}\frac{n\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{n}\right)}{\pi}=2+\frac{n}{3}
\] che per \(n=6\) porta ad \(n_r=4\), risposta al quesito proposto.

[axpgn]

E tu lo chiami giocare?

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Supponiamo di avere solo due monete uguali; quando una rotola intorno all'altra compie due rivoluzioni su sé stessa per tornare alla posizione iniziale.
Perché?
Immaginiamo due monete con la faccia in su, una sopra l'altra, con il "collo" di una sopra la "testa" dell'altra.
Ovvero il punto di contatto è collo1/testa2.
Dopo mezzo giro, il punto di contatto sarà collo2/testa1 cioè la moneta che ha rotolato (quella sopra) si trova ad aver compiuto una intera rivoluzione e di conseguenza due rivoluzioni su sé stessa per tornare nella posizione inziale.
Nel nostro caso la moneta che rotola "percorre" un terzo di circonferenza per spostarsi tra un "incavo" e l'altro quindi sei incavi per tornare al punto di partenza per cui sei per un terzo fa due moltiplicato per due fa un totale di quattro

[Quinzio]

Sapresti dimostrare questo?

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Non c'e' neanche bisogno che i dischi siano disposti su una circonferenza.

La somma degli angoli interni di un poligono di $N$ lati e' $N/2 -1$ (misurati in angoli giro = 360 gradi).

La somma degli angoli all'esterno e' $N - (N/2 - 1) = N/2 + 1$.

Come si vede dal disegno, il disco che rotola si muove tra due vertici dei triangoli equilateri seguendo degli archi di circonferenza.

La somma di questi angoli tra i vertici e' (somma angoli esterni poligono) meno (angoli dei triangoli adiacenti al poligono).

Cioe' $N/2 +1 - N/3 = N/6 +1$.

Il tutto va raddoppiato siccome il disco si muove tipo un ingranaggio: $2(N/6 +1)$

Se il disco che rotola ha un diametro diverso $R_1$ la formula cambia in $2R/R_1(N/2 +1 - 2 N "arccos" R/(R_1+R))$

[Quinzio]

Una moneta compie due rivoluzioni su sé stessa per tornare alla posizione iniziale.
Perché?

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Un modo intuitivo per convincersi di questo fatto e' scomporre il rotolamento in due fasi.

Nell'immagine, le due monete sono nella posizione iniziale a sinistra.
Nel mezzo, la prima fase, le due monete sono ruotate in modo rigido di un angolo $\alpha$ in senso orario.
L'angolo di cui e' ruotata la moneta in alto e' sempre $\alpha$ come e' intuitivo immaginarsi.
Nella seconda fase, a destra, la moneta in basso ruota indietro nella posizione originale, e, a mo' di ingranaggio, la moneta in alto mantiene fisso il suo centro e ruota di un altro angolo $\alpha$ e la sua rotazione complessiva diventa $2\alpha$.

Ecco perche' dopo un giro completo, la moneta in alto avra' compiuto 2 rivoluzioni.