Visto che siamo in
sala giochi ... giochiamo!
Assumiamo di avere in tasca \(n\ge 2\) monete di raggio \(r_1>0\) e una moneta di raggio \(r_2>0\).
Quindi, disponiamo le \(n\) monete tangenti tra loro e con i centri su una circonferenza, da cui: \[\small
(x,y)=\rho_1\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right),\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right)+r_1\left(\cos\left(u+\frac{2k\pi}{n}\right),\sin\left(u+\frac{2k\pi}{n}\right)\right),\quad u\in\left[-\frac{n+2}{2n}\pi,\frac{n+2}{2n}\pi\right]
\] che parametrizza il bordo
petaloso delle \(n\) monete con \(\rho_1:=r_1/\sin(\pi/n)\) e \(k=0,1,\dots,n-1\).
Ciò fatto, disponiamo la moneta rimanente tangente esternamente e allineata a quella corrispondente a \(k=0\) e la facciamo rotolare affinché risulti tangente anche alla moneta corrispondente a \(k=1\), da cui: \[
(x,y)=\rho_2\left(\cos\left(\frac{\pi}{n}\right),\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)+r_2\left(\cos(v),\sin(v)\right),\quad v\in(-\pi,\pi]
\] che parametrizza il bordo della moneta rimanente con \(\rho_2:=\sqrt{(2r_1+r_2)r_2}+r_1/\tan(\pi/n)\).
In particolare, il punto di tangenza tra tale moneta e quella corrispondente a \(k=0\) è individuato da: \[
\bar{u}=\text{atan2}\left(\rho_2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right),\rho_2\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)-\rho_1\right)
\] ossia, in forma espansa: \[
\bar{u}=\text{atan2}\left(\sqrt{(2r_1+r_2)r_2}\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)+r_1\cos\left(\frac{\pi}{n}\right),\sqrt{(2r_1+r_2)r_2}\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)-r_1\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)
\] che è l'angolo spazzato dalla moneta esterna rotolando nel modo sopra descritto e qui illustrato:
\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)
Siamo al traguardo! Infatti, non rimane altro che imporre la seguente proporzione: \[
n_r : 2\bar{u}\,n = \frac{r_1+r_2}{r_2} : 2\pi
\] da cui segue che il numero di rivoluzioni della moneta esterna sul bordo
petaloso è: \[
\boxed{n_r=\frac{r_1+r_2}{r_2}\frac{n\,\bar{u}}{\pi}}
\] che nel caso particolare in cui sia \(r_2=r_1\) (bastava partire da qui) si semplifica in: \[
n_r=\frac{r_1+r_1}{r_1}\frac{n\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{n}\right)}{\pi}=2+\frac{n}{3}
\] che per \(n=6\) porta ad \(n_r=4\), risposta al quesito proposto.