dilemma della capra

[pex3]

ciao a tutti.. ho un bel quesito da porvi, mi han detto che si chiama dilemma della capra o qualcosa di simile ma nn riesco ne' a risolverlo ne' a trovare la soluzione in internet:

<b><font size=4>dato un prato circolare di raggio r e posto un piolo su un punto qualsiasi del perimetro di tale prato a cui viene legata una capra con una corda di lunghezza l determinare la lunghezza di tale corda in modo che la capra possa brucare solo meta' dell'erba presente all'interno del prato circolare.</font id=size4></b>

<font size=4>in pratica il primo cerchio deve avere area pari al doppio dell'area nell'intersezione tra i due cerchi e il secondo cerchio deve avere il centro su un punto della circonferenza e si chiede di determinare la funzione che determina il rapporto tra i due raggi.</font id=size4>

..impiegando gli integrali e' (forse) possibile, ma e' molto difficile.. un amico ha detto di esserci riuscito con un metodo "trigonometrico".

grazie a tutti e ciao..


pex3 is over..

[goblyn]

Ciao.

Formule utili:

Settore circolare sotteso da un angolo alfa:
Area=alfa*(R^2)/2

Segmento circolare sotteso da una corda lunga d:
(chiamiamo q=d/(2R) )
Area=(R^2)/2 * ( 2arcsin(q) -2q*sqrt(1-q^2) )

Chiamiamo P il perno cui è legata la corda.
Chiamiamo Q l'altro estremo di una corda lunga l e il cui primo estremo è P.
Chiamiamo teta/2 l'angolo OPQ (dove O è il centro della prima circonferenza).
Chiamiamo R il raggio della prima circonferenza.

Allora:

troviamo il punto Q:
facciamo l'intersezione tra le equazioni delle due circonferenze:

x^2 + y^2 = R^2
(x-R)^2 + y^2 = l^2

Otteniamo x= r - (l^2)/(2R)
quindi: Q = ( r-(l^2)/(2R) ; l/2 * sqrt(2-(l/R)^2) )

teta/2 = arccos( (Px-Qx)/(PQ) )
ovvero

teta= 2*arccos( l/(2R) )

Quindi l'area del settore circolare sotteso dall'angolo teta (per le formule scritte sopra) vale:

Asett= teta * (l^2)/2 = (l^2)*arccos(l/(2R))

Rimangono i due settori circolari sottesi dalle corde QP e dall'analoga nella parte inferiore del cerchio.

QP=l, quindi:

Asegm=(R^2)/2 * ( 2arcsin(q) -2q*sqrt(1-q^2) )

dove q=l/(2R)

Area brucabile= Asett+2Asegm=

=(R^2)[4(q^2)*arccos(q) + 2arcsin(q) -2q*sqrt(1-q^2)]

Puoi anche provare a fare un grafico di Areabrucabile/(pi*R^2) in funzione di q ( q compreso tra 0 e 1);

Con gli integrali si ottiene lo stesso identico risultato (ho provato e funziona!)

Ciao!

goblyn

[fireball]

Complimenti a goblyn per la soluzione, non c'è che dire: praticamente perfetta!

ciao