Una proprietà dell'iperbole

[karl]

Si consideri ,nell'ordinario piano cartesiano Oxy,l'iperbole di equazione
xy=k con k>0 e sia P il generico punto di essa situato
sul ramo della medesima curva che e' nel 1° quadrante.
La circonferenza di centro P e raggio r=2*OP intersechi il suddetto ramo
nei punti Q ed R:dimostrare che e' <QPR=120° per ogni scelta di P
(il segno "<" sta per "angolo")
Attenzione....mi raccomando e buona fortuna!!
Archimede

[Thomas]

So benissimo di meritare la morte per questa soluzione, ma mi è costata fatica, archimede! I metodi geometrici standard non sono riuscito ad applicarli. Dall'unica caratterizzazione geometrica dell'iperbole che conosco (la definizione) non sono riuscito a tirarne fuori nulla di buono. Quindi via analitica, che altro???

Per verificare la tesi si può verificare che vale:

$QR^2=12OP^2$ [0]

quindi mettiamo a sistema l'iperbole con la circonferenza. Chiamo $p$ l'ascissa del punto $P$ e suppongo $k=1$(si può fare a mano di cambiamenti di scala). Risolvendo rispetto alle ascisse dei punti di intersezione:

$(x-p)^2+(1/x-1/p)^2=4(p^2+1/p^2)$

$x^4-2p(x^3)-3x^2(p^2+1/p^2)-(2/p)*x+1=0$

che si nota dal disegno avere la sol banale $x=-p$, che però non è tra le positive che ci interessano. con Ruffini

$x^3-3px^2-(3/p^2)*x+1/p=0$ [1]

ora, chiamo $a$ e $b$ le ascisse dei due punti di intersezione che ci interessano:

$QR^2=(a-b)^2+(1/a-1/b)^2$ [2]
$OP=p^2+1/p^2$ [3]

con le formule di Viete, dalla [1] (che, oltre ad $a$ e $b$, possiede una ulteriore radice $c$), si ha:

$abc=-1/p$
$ab+ac+bc=-3/p^2$
$a+b+c=3p$

da cui si ricava

$(a-b)^2= 9p^2+1/(a^2b^2p^2)+6/(ab)-4ab$ [4]

$(1/a-1/b)^2= 9/p^2+p^2a^2b^2+6ab-4/(ab) [5]

quindi, usando la [2], e la[3], sostituisco nella [0] per verificarla. E' utile però porre $ab=-1/(cp)$ nella [4] e nella [5], così rimane solo $c$ come variabile. Si ottiene:

$c^4-2p(c^3)-3c^2(p^2+1/p^2)-(2/p)*c+1=0$

che è verificata, in quanto $c$ è una radice della [1], che divide quel polinomio...fine della storia...
Io mi considero soddisfatto, anche se mi sarebbe piaciuto trovare una soluzione geometrica...

[karl]

@Thomas
Se ti puo' consolare ti dico che anch'io ho vanamente cercato una soluzione
puramente geometrica ripiegando poi ,come te,su un procedimento
analitico.Con le seguenti due varianti (pseudo)geometriche:
1) che l'equazione di 4° grado risultante dall'intersezione della iperbole
con la circonferenza abbia la soluzione $x=-rho$ puo' essere
dedotto dal fatto che il punto T (del 3° quadrante) simmetrico di P rispetto ad O appartiene sia all'iperbole ( che e' appunto simmetrica rispetto ad O) sia alla circonferenza in quanto e' PT=2*OP=raggio.
2) dette p1,p2,p3 le ascisse degli altri tre punti Q,R ed S d'intersezione, si ha:
$(p_1+p_2+p_3)/3=(3p)/3=p=x_P$
$1/3(1/(p_1)+1/(p_2)+1/(p_3))=1/3(p_1p_2+p_2p_3+p_3p_1)/(p_1p_2p_3)=1/3(-3/(p^2))(-p)=1/p=y_P$
Cio' prova (o proverebbe...) che il centro P della circonferenza e' il baricentro di Q,R ed S che sono (sarebbero) quindi i vertici del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza medesima.
Ne segue che QPR=120°.
Archimede

[Thomas]

wow... beh si, ho trovato anche io così la radice $-p$... cmq qualitativamente le nostre sol sono uguali (dal punto di vista metodologico intendo!), sempre Cartesio+Viète... anche se io mi limito alla tesi mentra tu vai un pò oltre ...

beh ciao... alla prox!

ps: si, un pò mi consola