Successione di frazioni continue

[carlo23]

Sia $(r_n)_(n in NN)$ una successione di numeri reali diversi da $0$.

Definiamo

$f_n(x)=r_n+x/(r_(n+1)+x/(r_(n+2)+...))$

dimostrare che

$d/(dx) f_n (x) = 1/(f_(n+1)(x))-x/( f_{n+1} ^2 (x)f_{n+2}(x))+x^2/( f_{n+1} ^2 (x)f_{n+2} ^2 (x) f_{n+3}(x))-...$

Ciao Ciao

[anonymous_be1147]

Si ha

$f_{n+1} = r_{n+1} + \frac{x}{r_{n+2} + \frac{x}{r_{n+3} + \ldots}}$

E quindi

$f_n = r_n + \frac{x}{f_{n+1}}$ (1)

Derivando la (1) si ha

$Df_n = \frac{f_{n+1} - x Df_{n+1}}{(f_{n+1})^2} = \frac{1}{f_{n+1}} - \frac{x}{(f_{n+1})^2} \cdot Df_{n+1}$

Procedendo allora ricorsivamente si ottiene

$Df_n = \frac{1}{f_{n+1}} - \frac{x}{(f_{n+1})^2} \cdot [\frac{1}{f_{n+2}} - \frac{x}{(f_{n+2})^2} \cdot Df_{n+2}] = $

$ = \frac{1}{f_{n+1}} - \frac{x}{(f_{n+1})^2 f_{n+2}} + \frac{x^2}{(f_{n+1})^2(f_{n+2})^2} \cdot Df_{n+2} =$

$ = \frac{1}{f_{n+1}} - \frac{x}{(f_{n+1})^2 f_{n+2}} + \frac{x^2}{(f_{n+1})^2(f_{n+2})^2} \cdot [\frac{1}{f_{n+3}} - \frac{x}{(f_{n+3})^2} \cdot Df_{n+3}] =$

$ = \frac{1}{f_{n+1}} - \frac{x}{(f_{n+1})^2 f_{n+2}} + \frac{x^2}{(f_{n+1})^2(f_{n+2})^2 f_{n+3}} - \frac{x^3}{(f_{n+3})^2} \cdot Df_{n+3} = \ldots$

[In effetti, questa è più una verifica che una dimostrazione...]

[carlo23]

Si ha...

Bravo !!