formula di Eulero-Wallis

[ficus2002]

Qualcuno di voi conosce la dimostrazione della formula di Eulero-Wallis
$sin(x)=x*\prod_{n=1}^{+oo} (1-x^2/(n^2\pi^2))$

EDIT: ho corretto la domanda.
>Qualcuno di voi conosce la dimostrazione della formula di Eulero-Wallis
>$\pi/2=2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7*8/7*8/9*\cdots$?

[Nidhogg]

Qualcuno di voi conosce la dimostrazione della formula di Eulero-Wallis
$\pi/2=2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7*8/7*8/9*\cdots$?

Ecco a lei: http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_di_Wallis

Ciao!

[ficus2002]

Scusam ho sbagliato! La formula di Eulero-Wallis è questa
$sin(x)=x*\prod_{n=1}^{+oo} (1-x^2/(n^2\pi^2))$
è di questa formula che cerco la dimostrazione.

[carlo23]

Scusam ho sbagliato! La formula di Eulero-Wallis è questa
$sin(x)=x*\prod_{n=1}^{+oo} (1-x^2/(n^2\pi^2))$
è di questa formula che cerco la dimostrazione.

Sia $P_(2n+1)(x)$ un polinomio che ha $2n+1$ zeri, essi sono $0,pi,2pi,3pi...npi$ e $-pi,-2pi,-3pi...-npi$.

Abbiamo $lim_(n rightarrow infty) P_(2n+1)(x) = Ksin(x)$ per una costante $K$ indipendente da $x$.

Del resto possiamo fattorizzare $P$ ottenendo $P_(2n+1)(x)=K' x prod_(k=1)^n (1-(x^2)/(pi^2k^2))$ per un altra costante $K'$ indipendente da $x$.

Quindi $lim_(n rightarrow infty) P_(2n+1)(x) =K' x prod_(k=1)^infty (1-(x^2)/(pi^2k^2))=Ksin(x)$

$prod_(k=1)^infty (1-(x^2)/(pi^2k^2))=(K/K')(sin(x)/x)$

ora facendo tendere $x$ a $0$ e usando il limite notevole $lim_(x rightarrow 0)(sin(x))/x =1$ troviamo $K/(K')=1$.

Ciao Ciao

[Thomas]

Abbiamo $lim_(n rightarrow infty) P_(2n+1)(x) = Ksin(x)$ per una costante $K$ indipendente da $x$.

mmm... non andrebbe dimostrato??? .... non mi pare sia ovvio che due funzioni con gli stessi zeri debbano essere una multiplo dell'altra...

[Thomas]

mmm.... dite cosa pensate, eh!!

cmq se volete posso propinarvi la dimostrazione che conosco io... (un pò lunghetta...)

[ficus2002]

@Thomas: se la posti la leggo volentieri; so che esistono diverse dimostrazioni di questa formula, quindi più ne postate meglio è

[Thomas]

Beh... non ho molto tempo... posto la traccia:

- Si consideri il polinomio $P_n(z)=1/2[(1+z)^(2n)-(1-z)^(2n)]$. Grazie alle radici dell'unità con un pò di calcoli si ottengono i suoi zeri in forma complessa che sono $-i*tg( (k\pi)/(2n) )$ con $-n<k<n$;

- si può allora scrivere, visto che due polinomi con le stesse radici differiscono per una costante e regolando questa costante

$P_n(z)=2nz\prod_{k=1}^{n-1}(1+z^2/(tg^2( (k\pi)/(2n) )))$ [1]

(notare come sono stati accoppiati i termini);

- Si metta nel polinomio $z=z/(2n)$ (ovvero si ridefinisca $z$) e nella [1] si faccia tendere n ad infinito. A sinistra si otterrà $1/2*(e^z-e^(-z))$, mentre a destra
$z\prod_{k=1}^{+oo} (1+z^2/(\pi^2k^2) )$. (c'è da dimostrare che si può passare al limite dentro la produttoria con una specie di convergenza dominata).

- Ponendo ora $z=\pi it$, e riconoscendo a sinistra quasi la forma esponenziale di $sen(\pi t)$, si ottiene il risultato voluto;

scusa ma era troppo lunga da scrivere bene e non ho molto tempo... se non è chiaro la chiarisco in seguito, ficus2002, ok??

[ficus2002]

grazie mille! è chiarissima!

[ficus2002]

$z\prod_{k=1}^{+oo} (1+z^2/(\pi^2k^2) )$. (c'è da dimostrare che si può passare al limite dentro la produttoria con una specie di convergenza dominata).

Magari potresti mettere, se hai tempo, qualche suggerimento per questo passaggio? grazie