mediana e bisettrice

[son Goku]

dato un triangolo qualsiasi calcolare in generale la lunghezza di una mediana e bisettrice in funzione degli altri lati, non l'ho letto su nessun libro lo dimostrai da solo anni addietro, sicuramente ci saranno le formule sul web se uno cerca...

[karl]

Non so perche' ma non ci sono state risposte ad un quesito che
mi pare interessante dal punto di vista didattico.
Cerco di colmare la lacuna.
Indico con $a,b,c,m_a,l_a$ i lati BC,CA,AB del triangolo ABC
e mediana e bisettrice relative al lato BC (vedi figure).Sia poi H
la proiezione ortogonale di A su BC.
E' noto che:
$BM=CM=a/2,BD=(ac)/(b+c),CD=(ab)/(b+c)$
1°)Calcolo di $m_a$
Per il Teorema di Pitagora generalizzato si ha:
$b^2=CM^2+m_a^2+2*CM*HM$
$c^2=BM^2+m_a^2-2*BM*HM$
Sommando risulta:
$b^2+c^2=2*BM^2+2*m_a^2$ ovvero $b^2+c^2=(a^2)/2+2*m_a^2$
Da qui si ricava la formula della mediana:
$m_a=1/2sqrt(2(b^2+c^2)-a^2)$
(formule analoghe per le altre due mediane)
In particolare se il triangolo e' rettangolo in A si ha $b^2+c^2=a^2$ e quindi
applicando la formula si trova il noto risultato $m_a=a/2$ e cioe'
la mediana relativa all'ipotenusa e' meta' di quest'ultima (risultato
ottenibile anche per via geometrica)

2°)Calcolo di $l_a$ (un po' piu' complicato)
Sempre per il succitato teorema si ha:
$b^2=CD^2+l_a^2+2*CD*HD$
$c^2=BD^2+l_a^2-2*BD*HD$
Moltiplicando la prima relazione per BD , la seconda per CD ,sommando e
tenendo conto dei valori indicati di BD e CD si ha:
$(ab^2c+abc^2)/(b+c)=(a^3b^2c+a^3bc^2)/((b+c)^3)+a*l_a^2$
Ovvero:
$abc=(a^3bc)/((b+c)^2)+a*l_a^2 -> bc=(a^2bc)/((b+c)^2)+l_a^2$
Ricavo $l_a$:
$l_a^2=(bc)/(b+c)^2[(b+c)^2-a^2]$
Da cui:
$l_a^2=(bc)/((b+c)^2)(b+c+a)(b+c-a)$
Ma $b+c+a=2p,b+c-a=2(p-a)$ (p=semiperimetro) e dunque:
$l_a=2/(b+c)sqrt(bcp(p-a))$
(formule analoghe per le altre 2 bisettrici)
In particolare per un triangolo rettangolo in A si trova la
formula notevole per la bisettrice relativa all'ipotenusa:
$l_a=(bcsqrt2)/(b+c)$
karl
P.S.
Vi sono anche altri modi per ricavare le precedenti formule (in particolare
trigonometrici)