da Mephlip » 26/01/2021, 18:08
Dato $A \subset \mathbb{R}$, $A \ne \emptyset$, per definizione di estremo superiore si ha, per ogni $x \in A$, che
$$|f_n(x)-f_m(x)| \leq \sup_{x \in A} |f_n(x)-f_m(x)|$$
Dunque, se risulta anche che $\text{sup}_{x \in A} |f_n(x)-f_m(x)| < \varepsilon$, si ha la catena di disuguaglianze
$$|f_n(x)-f_m(x)| \leq \sup_{x \in A} |f_n(x)-f_m(x)| < \varepsilon \implies |f_n(x)-f_m(x)| < \varepsilon$$
Passando al limite per $x \to x_0$ ambo i membri della disuguaglianza (ricordando che il limite mantiene le disuguaglianze non strette) ed accorgendosi che il membro di destra è indipendente da $x$, si ha
$$\lim_{x \to x_0} |f_n(x)-f_m(x)| \leq \varepsilon$$
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.