Calcolo limite successione

[maria_rosanna]

Buongiorno a tutti,
mi sto esercitando sul calcolo dei limiti di successioni e mi trovo in difficoltà con il seguente:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^3}-e^{n^2} \right) \)
L'unica operazione che mi viene in mente da fare è di scrivere la prima parentesi come
\(\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^3}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^{n^2} \),
l'interno della parentesi tende ad \(\displaystyle e \) e quindi verrebbe
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}(e^{n^2}-e^{n^2} ) =0\).

Tutto questo, oltre a non coincidere con il risultato \(\displaystyle (-\infty) \), non mi sembra per niente ortodosso a causa del calcolo parziale del limite. Mi sembra anche concettualmente sbagliato ottenere due successioni che vanno ad infinito con la stessa velocità partendo da due successioni che tendenzialmente non lo fanno.

Non ho altre idee per risolverlo e non trovo indicazioni. Ringrazio chiunque mi possa aiutare.

[pilloeffe]

Ciao maria_rosanna,

Benvenuta sul forum!

Farei così:

$ \lim_{n \to +\infty} [(1+\frac{1}{n})^{n^3} - e^{n^2}] = \lim_{n \to +\infty} e^{n^2} [e^{n^3 ln(1+\frac{1}{n}) - n^2} - 1] = $
$ = \lim_{n \to +\infty} e^{n^2} [e^{n^3 (1/n - 1/(2n^2) +\frac{1}{3n^3} - 1/(4n^4) + ...) - n^2} - 1] = $
$ = \lim_{n \to +\infty} e^{n^2} [e^{- n/2 + 1/3 - 1/(4n) + ...} - 1] = +\infty [0 - 1] = - \infty $

Si potrebbe anche risolvere senza lo sviluppo in serie del logaritmo, facendo uso del fatto che $\AA n \in \NN $ valgono le disuguaglianze seguenti:

$0 < (1 + 1/n)^n < e \implies 0 < (1 + 1/n)^n/e < 1 $

(vedasi anche questo thread).
Per cui si ha:

$ \lim_{n \to +\infty} [(1+\frac{1}{n})^{n^3} - e^{n^2}] = \lim_{n \to +\infty} e^{n^2}\{[((1+\frac{1}{n})^n)/e]^{n^2} - 1\} = +\infty [0 - 1] = - \infty $

[maria_rosanna]

Grazie mille.