da apatriarca » 27/10/2021, 21:14
Hai provato a scrivere la tabella della verità della tua espressione? È spesso un ottimo modo per comprendere meglio come si comporta la tua espressione e avere delle idee su quale potrebbe essere il risultato finale. Non è obbligatorio, ma è molto più facile sapere cosa cercare di fare quando si ha qualche idea di come proseguire.
Per esempio potresti osservare che ogni volta che \(W\) è vera, anche \(F\) è vera. Dovrai quindi avere qualcosa nella forma \(F(W, X, Y, Z) = W + G(X, Y, Z).\) Per prima cosa cerchiamo di avere tutti i termini con \(W\) o \(\overline{W}\). Possiamo quindi fare il passaggio \(\overline{Y}\,Z = (W + \overline{W})\,\overline{Y}\,Z\) per la regola del terzo escluso \(x + \overline{x} = 1\). A questo punto possiamo raccogliere tutti i termini usando la regola distributiva
\[ W\,(X + \overline{Y}\,Z + \overline{X}\,Y + \overline{X}\,\overline{Y}\,\overline{Z}) + \overline{W}\,(\overline{Y}\,Z + X\,Y\,Z) \]
Possiamo a questo punto usare la regola \(x + \overline{x}\,y = x + y\) (deriva dalla legge distributiva e dalla regola del terzo escluso in quanto \(x + \overline{x}\,y = (x + \overline{x})\,(x + y) = x + y\)) più volte nell'espressione che abbiamo raccolto per \(W\) ottenendo:
\[ X + \overline{Y}\,Z + \overline{X}\,Y + \overline{X}\,\overline{Y}\,\overline{Z} = X + Y + Z + \overline{Z} = 1 + X + Y = 1. \]
Abbiamo quindi ottenuto (applicando di nuovo la regola precedente per eliminare il termine \(\overline{W}\))
\[ F(W, X, Y, Z) = W + \overline{Y}\,Z + X\,Y\,Z \]
A questo punto possiamo raccogliere \(Z\) e applicare nuovamente la stessa regola usata già più volte per ottenere
\[ F(W, X, Y, Z) = W + Z\,(\overline{Y} + X\,Y) = W + Z\,(\overline{Y} + X). \]
A questo punto non si può fare alcuna ulteriore semplificazione e siamo quindi arrivati a quello che probabilmente ti chiedeva il tuo esercizio.
