Dimostrazione verità o falsità

[sara09]

La sommatoria inizia con \(i=1\) e non da \(i=0\).

Non è poi chiaro che cosa tu stia cercando di fare. Perché quell'uno? Hai
\[ \sum_1^n i^{k} \neq \sum_0^{n-1} 1^{k} \]
Quindi il tuo passo base è
\[ \sum_1^n i^{0} = \sum_1^n 1 = n. \]
Il tuo passo induttivo a quel punto consiste nel partire da
\[ \sum_1^n i^{k+1} \]
e di cercare di riscriverlo in funzione della sommatoria per \(k\).

EDIT: Nota che non ti ho fornito un procedimento per risolverlo, ma solo corretto quello che c'era di sbagliato nel tuo procedimento e la ragione per cui ti veniva falso nonostante la proposizione è effettivamente vera come puoi osservare dal link sulla formula generale per questo tipo di sommatorie.

Va bene grazie, quindi ora scrivere ciò \[ \sum_1^n i^{k+1} \] in funzione della sommatoria per \(k\) come dovrei fare? Nel senso posso trasformarla in \[ \sum_1^n i^{k}*i \] dove $i<= \sum_1^n i^{k}*i <= i/{(1-i)^2}$ dunque la $\sum_1^n i^{k}*i = i/(1+i^2-2i)$ ma poi come vado avanti arrivando ad avere $n^{k+1}$?
Grazie mille ☺️

[sara09]

La sommatoria inizia con \(i=1\) e non da \(i=0\).

Non è poi chiaro che cosa tu stia cercando di fare. Perché quell'uno? Hai
\[ \sum_1^n i^{k} \neq \sum_0^{n-1} 1^{k} \]
Quindi il tuo passo base è
\[ \sum_1^n i^{0} = \sum_1^n 1 = n. \]
Il tuo passo induttivo a quel punto consiste nel partire da
\[ \sum_1^n i^{k+1} \]
e di cercare di riscriverlo in funzione della sommatoria per \(k\).

EDIT: Nota che non ti ho fornito un procedimento per risolverlo, ma solo corretto quello che c'era di sbagliato nel tuo procedimento e la ragione per cui ti veniva falso nonostante la proposizione è effettivamente vera come puoi osservare dal link sulla formula generale per questo tipo di sommatorie.

Come scrivo la sommatoria in funzione di k ?

[otta96]

Riparti dal mio suggerimento, sviluppa $sum_(i =0)^(n-1)(i+1)^(k+1)-i^(k+1)$, che non fa $1$....

[sara09]

Riparti dal mio suggerimento, sviluppa $sum_(i =0)^(n-1)(i+1)^(k+1)-i^(k+1)$, che non fa $1$....

Okay, quindi poi avrei la che questa $sum_(i =0)^(n-1)(i+1)^(k+1)-i^(k+1)$ diventa $sum_(i =0)^(n-1)(1)^(k+1)$ dove per induzione:

- caso base [$k=1 & i= 1$] —> se $k = 0$ Allora ho che $sum_(i =0)^(n-1)(1)^(1)$ dove questa è una serie geometria con ragione q che è uguale a $ (n-1)+1 = n$

- passo induttivo [$k>1 & i>1 $] —> allora ho che $sum_(i =0)^(n-1)(i)^(k+1) = ((i^{n-1}+1)/(i-1))$

Poi come faccio ad avere $n^{k+1}$ ?

[apatriarca]

Il problema di questa sommatoria è che richiede l'uso di qualche "trucco" non immediatamente ovvio o strumenti più avanzati per la sua soluzione.

Il trucco consiste nel considerare la differenza tra addendi successivi della sommatoria. Differenza che non è certamente uguale a \(1\) come hai scritto nella tua soluzione. Considera infatti per esempio il caso in cui \(k=1\) e \(i=5\). Hai che \(6^2 = 36\) e \(5^2 = 25\) per cui la loro differenza è \(11\) che è certamente diverso da \(1\)... Devi sviluppare il termine \((i+1)^{k+1}\) usando la formula per la potenza di un binomio che hai sicuramente visto nelle scuole superiori.

[apatriarca]

La formula sarebbe la seguente:
\[ (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\,x^{k}\,y^{n-k} \]
Nel tuo caso hai \((i + 1)^{k+1}\) da cui si ottiene
\[ (i + 1)^{k+1} = \sum_{j=0}^{k+1} \binom{k+1}{j}\,i^{j}. \]
Se rimuovi \(i^{k+1}\) rimane tutto tranne il termine più grande:
\[ (i + 1)^{k+1} - i^{k+1} = \sum_{j=0}^{k} \binom{k+1}{j}\,i^{j}. \]