- Codice:
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\newtheorem{teo01}{Teorema}[section]
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\newtheorem{def01}{Definizione}[section]
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{ese01}[def01]{Esempio}
\title{Topologia}
\author{Andrea Tammaro}
\begin{document}
\maketitle
\section{Teorema di Ascoli-Arzel\'a}
\begin{teo01}[Ascoli-Arzel\'a]\label{A-A}
Siano \( X \) uno spazio compatto e \( Y \) uno spazio metrico. Sia \( F \) una famiglia di funzioni da \( X \) a \( Y \) equicontinue ed equilimitate, e cio\'e tali che:
\begin{enumerate}
\item Equilimitatezza: esiste un totalmente limitato \( A\subseteq Y \) tale che \( f(X)\subseteq A \) per ogni \( f\in F \);
\item Equicontinutit\'a: per ogni \( \varepsilon>0 \) per ogni \( x\in X \) esiste un intorno \( U_x \) di \( x \) tale che per ogni \( f\in F \) il diametro di \( f(U_x) \) sia minore di \( \varepsilon \).
\end{enumerate}
Allora \( F \) \'e un insieme totalmente limitato rispetto alla metrica del sup di \( Y^X \). In particolare, se \( Y \) \'e completo allora \( F \) \'e relativamente compatto.
\end{teo01}
\begin{proof}
Mostriamo che per ogni \( \varepsilon>0 \) lo spazio \( F \) ha un \( 4\varepsilon \)-reticolo finito. Vista l'arbitrariet\'a di \( \varepsilon \), ci\'o sar\'a sufficiente. Sia \( \left\{y_i \right\}_{i\in I} \) un \( \varepsilon \)-reticolo finito in \( A \). Per equicontinuit\'a, ogni \( x \) in \( X \) ha un intorno \( U_x \) tale che \( f(U_x) \) ha diametro al pi\'u \( \varepsilon \). Il ricoprimento aperto \( {U_x} \) ha un sotto ricoprimento finito \( U_{x_{1}},\ldots,U_{x_{n}} \). Sia \( \Sigma \) l'insieme delle funzioni da \( 1,\ldots ,n \) a \( I \). Esso \'e chiaramente un insieme finito. Ad ogni funzione \( f \) da \( X \) in \( A \) possiamo associare una (non unica in generale) \( \sigma(f)\in \Sigma \) tale che
\begin{equation*}
d(f(x_i),y_{\sigma(f)(i)})<\varepsilon
\end{equation*}
per ogni \( i = 1,\ldots ,n \). \\
Per ogni funzione \( \sigma \in \Sigma \) scegliamo, se esiste, una funzione \( f_{\sigma} \in F \) tale che \( \sigma(f_{\sigma}) = \sigma \). \\
L'insieme
\[ \left\{f_{\sigma}: \sigma \in \Sigma \right\} \]
\'e un \( 4\varepsilon \)-reticolo finito in \( F \), con la metrica del sup di \( Y^X \). Infatti se \( g\in F \) , per ogni \( i = 1,\ldots ,n \) si ha:
\begin{equation*}
d(g(x_i),g_{\sigma(g)}(x_i)) \leq d(g(x_i),y_{\sigma(g)(i)})+d(y_{\sigma(g)(i)},g_{\sigma(g)}(x_i))<2\varepsilon
\end{equation*}
e quindi se \( x\in U_{x_i} \)
\begin{equation*}
d(g(x),f_{\sigma(g)}(x)) \leq d(g(x),g(x_i))+d(g(x_i),f_{\sigma(g)}(x_i))+d(f_{\sigma(g)}(x_i),f_{\sigma(g)}(x))<\varepsilon+2\varepsilon+\varepsilon
\end{equation*}
quindi
\begin{equation*}
d_{\infty}(g,f_{\sigma(g)}) = sup_{x \in X}d(g(x),f_{\sigma(g)}(x))<4\varepsilon
\end{equation*}
\end{proof}
\section{Rivestimenti}
\begin{def01}\label{rivestimento}
Sia \( X \) uno spazio topologico. Un rivestimento di \( X \) \'e il dato di uno spazio topologico \( \widehat{X} \) e una funzione continua \( \pi: \widehat{X} \rightarrow X \) tale che ogni \( x \in X \) abbia un intorno aperto \( U \) - detto aperto banalizzante - tale che \( \pi^{-1}(U) \) sia unione disgiunta di aperti non vuoti in \( \widehat{X} \) - detti placche di \( U \) - tali che la restrizione di \( \pi \) a ognuno di essi sia un omeomorfismo con \( U \).
\end{def01}
\begin{ese01}
Identificando \( S^1\) con $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, la proiezione naturale $\mathbb{R} \rightarrow S^1$ \'e un rivestimento, che si pu\'o visualizzare agevolmente pensando $\mathbb{R}$ \textit{storto} come una molla infinita (Figura 1).
\end{ese01}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=3cm,height=3cm]{topologia.jpg}
\caption{Il rivestimento $\mathbb{R} \rightarrow S^1$}
\label{fig:rivestimento}
\end{figure}
\end{document}
così va bene?
