No, la tua intuizione è sbagliata. Si tratta di un linguaggio sensibile al contesto (i.e. tipo 1). Per dimostrarlo puoi fare uso di determinati teoremi come il
pumping lemma. Si tratta in effetti di uno degli esempi più classici di questo tipo di linguaggio.
Se faccio uso della tua produzione, supponendo che \(S \to A\,B\), hai che \(A\) produrrà un certo numero (\(n \geq 0\)) di \(a,\) mentre \(B\) produrrà una differente quantità \(m > 0\) di `b` seguite dalla stessa quantità di `c`. Il tuo linguaggio è insomma \(\{ a^nb^mc^m \mid n \geq 0, m > 0 \}\) che è diverso da quello originale in cui si richiede che \(n = m\). Per produrre quel linguaggio è necessario fare uso di una grammatica un po' più complicata che si ricorda di quante \(a\) hai inserito. Qualcosa come segue
\[
\begin{align*}
S \to a\,B\,C \\
S \to a\,S\,B\,C \\
C\,B \to C\,Z \\
C\,Z \to W\,Z \\
W\,Z \to W\,C \\
W\,C \to B\,C \\
a\,B \to a\,b \\
b\,B \to b\,b \\
b\,C \to b\,c \\
c\,C \to c\,c
\end{align*}
\]
Intuitivamente quello che stai facendo è che usando la seconda produzione di \(S\) \(n-1\) volte seguita dalla prima avrai qualcosa nella forma \(a^n\,(B\,C)^n\). A questo punto è necessario spostare tutte le \(B\) in modo che precedano le \(C\). Il primo passo è quello di chiamare queste \(B\) fuori posto come \(Z\) usando la terza regola e tutte le \(C\) fuori posto (quelle che precedono una \(B\) fuori posto) come \(W\) usando la quarta regola. In questo modo otteniamo \(a^n\,B\,(W\,Z)^{n-1}C\). A questo punto sostituiamo le \(Z\) con \(B\) e le \(W\) con \(B\) usando le regole cinque e sei. A questo punto abbiamo \(a^n\,B^2\,(C\,B)^{n-2}C^2\). Abbiamo quindi messo in ordine un \(B\) e un \(C\) aggiuntivo. A questo punto ripetiamo i passaggi finché non otteniamo le \(B\) e le \(C\) nell'ordine che desideriamo e usiamo le ultime regole per trasformare i simboli \(B\) e \(C\) in \(b\) e \(c\).
Nota che ho copiato questa grammatica da
qui. Non sono stato insomma io a scriverla. Non faccio queste cose da un sacco di tempo per cui non mi è ad esempio del tutto chiaro perché sia necessario passare dalle produzioni \(Z\) e \(W\) invece di scrivere semplicemente \(C\,B \to B\,C\) e quindi richiedere semplicemente che ogni volta che abbiamo questi simboli in ordine inverso li possiamo scambiare. Potrebbe essere una limitazione nel modo in cui vanno scritte queste grammatiche.
Come ultima nota è importante osservare che le produzioni non sono della forma \(A \to \alpha\) come per le grammatiche di tipo 2. In effetti non è possibile scrivere la grammatica in quel modo proprio perché non è una grammatica di tipo 2, ma di tipo 1.