modello di Programmazione Lineare

[uranya]

Vorrei chedere un aiutino sul seguente problema di PL:

Una compagnia produce piatti e bicchieri di ceramica. Il guadagno per ogni confezione di piatti venduta è pari a
30 euro, mentre il guadagno per una confezione di bicchieri è pari a 10 euro. Ogni giorno si devono produrre
almeno due confezioni di piatti in più rispetto al numero di confezioni di bicchieri prodotto giornalmente. Il numero
di confezioni di bicchieri giornalmente prodotto è al più 7. Infine, sono disponibili al più 10 kg di materia prima
ogni giorno . Per produrre una confezione di piatti occorre 1 kg di materia prima mentre per produrre una
confezione di bicchieri occorre ½ kg di materia prima. Si vuole conoscere la quantità di confezioni di piatti e di
bicchieri da produrre giornalmente per massimizzare il guadagno totale, rispettando i vincoli di produzione. Con
riferimento al problema descritto:
a) (4 punti) si formuli il corrispondente modello di programmazione lineare;
b) (3 punti) si risolva graficamente il problema, individuando il vertice corrispondente alla soluzione ottima.

mi interessa soprattutto la formulazione del modello poichè abbiamo fatto pochi esercizi e di questo non ho la soluzione da poter confrontare. In particolare ho dei dubbi sul vincolo:

Ogni giorno si devono produrre
almeno due confezioni di piatti in più rispetto al numero di confezioni di bicchieri prodotto giornalmente

grazie.

[Marco83]

Allora:
Funzione da ottimizzare

G=30*p+10*b

vincoli

2 piatti in più dei bicchieri
p>=b+2
meno di 7 bicchieri
b<=7
materia prima
0.5*b+1*p<=10

Disegna queste condizioni su un piano i cui assi sono p e b e otterrai il dominio delle soluzioni:

Osservazioni:
appena disegnerai il dominio delle soluzioni vedrai che il secodo vincolo è inutile a meno di non rinegoziare gli altri. Inoltre, presumendo che il numero di confezioni debba essere intero, scoprirai che la soluzione ottimale non sta su un vertice

[uranya]

OK, grazie anche della sollecitudine.


Patty

[Marvin]

.....
scoprirai che la soluzione ottimale NON sta su un vertice

Davvero?!
premetto che non ho svolto l'esercizio..
ma non c'è per caso un teorema (o qlc del genere) il quale dice che l'ottimo sta SEMPRE sui vertici della regione ammissibile?

Marvin

[uranya]

è vero, anche Io sapevo che se c'è l'ottimo è in un punto di vertice del politopo. Però in effetti il punto B non ha coordinate intere perciò quello che dice Marco83 mi sembra verosimile.
Ma il dilemma è un altro...
ecco il grafico del problema


com'è possibile che dalle linee di livello il punto di ottimo dovrebbe essere in C invece algebricamente si trova in B?
Oppure ho sbagliato qualcosa nel grafico?

[Cheguevilla]

Si, nel problema rilassato la soluzione deve stare su un vertice, ma qui si parla di programmazione lineare intera...

[Marvin]

Si, nel problema rilassato ...

Intendi "Rilasciato"..?
Infatti quanto ho letto il tuo post mi sono ricordato qlc.
Se non sbaglio (non ho voglia di andare a riprendere il libro di FRO!)
quando tu risolvi un problema di PLI (Intera),a seconda del metodo che utilizzi,vai
a risolvere i problemi "rilasciati".il che in soldoni equivale ad approssimare il problema di PLI
in uno di PLC, e in base alle soluzioni di quello rilasciato ottieni un ridimensionamento della regione ammissibile.

Tutto questo casino per dire che in effetti è possibile che l'ottimo non stia sui vertici (a meno che,ovviamente,
l'ottimo stia sui vertici i quali hanno coordinate intere)

Marvin