Non so se è un polpettone, al massimo una polpetta (ma le polpette mi vengono bene).
(comunque la polpetta è mia, non è polpetta copiata da altri).
Tanto per dare una prima risposta. La storia del concetto di continuità nell'ottocento è intricata.
Il concetto di continuità come lo conosciamo noi adesso è spesso attribuito a Cauchy.
Nel capitolo II del suo 'Course d'analyse' (1821) Cauchy dà la definizione di funzione continua:
se$ f(x)$ è una funzione della variabile $x$, e tra due 'limiti' dati di $x$ (cioè in un intervallo di $x$) questa funzione ammette sempre un valore 'unico e finito', allora
"...la funzione $f(x)$ sarà, tra i due limiti assegnati alla variabile $x$, funzione continua di questa variabile, se per ogni valore di $x$ tra questi due limiti il valore numerico della differenza
$f(x+alpha) - f(x)$
decresce indefinitamente con quello di $alpha$. In altri termini,
la funzione f(x) sarà continua in rapporto ai limiti dati, se, tra questi limiti, un incremento infinitamente piccolo della variabile produce un incremento infinitamente piccolo della funzione stessa" (il corsivo è di Cauchy).
1Si può notare riguardo a questa definizione che
-definendo la continuità Cauchy usa le 'quantità infinitamente piccole' , che ha precedentemente definito come "le quantità il cui valore numerico decresce indefinitamente in modo da convergere verso il limite 0"
2.
- non usa dunque la formulazione formale con epsilon e delta.
Per questi motivi la definizione formale attuale di continuità viene spesso attribuita a Weiestrass.
Weiestrass definisce la continuità di una funzione in un punto $x_0$ nel seguente modo, nel suo 'Teoria della Funzioni analitiche' (1874):
"Qui diciamo che una quantità $y$ è una funzione continua di $x$, se dopo aver scelto una quantita $epsilon$ può essere dimostrata l'esistenza di un $delta$ , tale che per ogni valore tra $x_0-delta$... $x_0+delta$ il corrispondente valore di $y$ giace tra $y_0 -epsilon$ ...$y_o +epsilon$".
La definizione per successioni della continuità è invece attribuita a Heine, così come la nozione di continuità uniforme.
Easy reading is damned hard writing. (Nathaniel Hawthorne, The Scarlet Letter)