Domanda sui fondamenti della matematica

[mklplo]

Salve leggendo qualche libro che parla del pensiero (in generale) nel novecento, mi sono ritrovato a leggere parti che riguardano della "crisi delle fondamenta" e mi è venuto un dubbio: attualmente esiste una teoria, o si sta costruendo una teoria, per fondare la matematica, che sia rigorosa come la teoria assiomatica degli insiemi, ma non sia "limitata" dai teoremi di incompletezza?
Se non vi reca disturbo, potreste rispondere alla mia domanda?

[gugo82]

“Fondamenta” sono quelle dei palazzi. Si dice fondamenti.

Per quanto riguarda la domanda: non si può costruire nessuna teoria del genere.

[mklplo]

Grazie per la correzione, e per la risposta.
Per curiosità, qual è il motivo per cui una tale teoria non è costruibile?

[fmnq]

Grazie per la correzione, e per la risposta.
Per curiosità, qual è il motivo per cui una tale teoria non è costruibile?

Detta rozzamente, ogni teoria abbastanza espressiva deve soffrire dell'incompletezza. Per il fatto che puoi dire abbastanza cose, sei costretto a dire cose che non sai dimostrare o confutare.

[mklplo]

Questa sarebbe una conseguenza dei teoremi di incompletezza che in qualche modo si estende a ogni teoria sui fondamenti, oppure è un risultato differente?
P.s: tempo fa lessi un libro divulgativo che parlava di una cosa strana detta teoria delle categorie, per curiosità, tale teoria è rigorosa come la teoria degli insiemi, oppure no?

[gugo82]

Tutte le teorie matematiche sono rigorose. L’incompletezza non inficia il rigore di nulla.
Tuttavia, in ogni teoria formale “sensatamente buona” ci sono proposizioni che non si possono né dimostrare né confutare.

[fmnq]

[fmnq]

Questa sarebbe una conseguenza dei teoremi di incompletezza che in qualche modo si estende a ogni teoria sui fondamenti, oppure è un risultato differente?

L'asserto per cui queste cose non dimostrabili esistono "è" il contenuto dei teoremi di incompletezza. Ci vuole, però, un anno o più di studio intenso per capire cosa dicono davvero i teoremi di incompletezza. Se hai la sensazione di averli capiti, probabilmente non li hai capiti.

P.s: tempo fa lessi un libro divulgativo che parlava di una cosa strana detta teoria delle categorie, per curiosità, tale teoria è rigorosa come la teoria degli insiemi, oppure no?

Questa è una storia affascinante (e ancora aperta), ma non c'entra molto con la crisi dei fondamenti.

[gugo82]

@fmnq:

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[fmnq]

Ci credo che non importa a nessuno, finché non avete la minima idea di cosa faccia.
Almeno c'è qualcuno che ne sente parlare e lo trova curioso, pur se tarato da altre forme di ignoranza.