Libro v di Euclide, proporzioni

[Settevoltesette]

Non riesco a comprendere l'importanza di questo argomento, Euclide non usa numeri ma relazioni tra segmenti che quindi possono anche essere incommensurabili, come mai è importante questo? Viene definito dagli storici il libro più importante degli elementi perché tratta anche gli irrazionali, ma di fatto lui fa una cosa semplicissima, aiutatemi a farmi apprezzare questa cosa perfavore

[otta96]

Mi ero messo da parte questo messaggio giorni fa per risponderti, poi mi è passato di mente, ma ora mi sono ricordato, quindi ti rispondo.
In pratica l'obiettivo di Euclide in quel libro è quello di definire il concetto di numero (noi diremmo reale positivo). Ma per Euclide gli enti fondamentali sono quelli geometrici, quindi per definire i numeri ricorre ad un trucco, li definisce come rapporti di grandezze geometriche confrontabili. Attenzione: confrontabili, non commensurabili, sono di grandezze tali che esiste un multiplo di ognuna che supera l'altra.
Quindi in particolare le grandezze commensurabili sono confrontabili ma non viceversa per esempio un lato di un quadrato e la sua diagonale. Grandezze non confrontabili sono ad esempio la lunghezza di un segmento e l'area di un rettangolo.
A questo punto data una coppia di grandezze confrontabili definisce un numero che equivale al loro rapporto cioè quanto misura la seconda grandezza presa come unità di misura la prima.
A questo punto ha definito delle entità, ma in modo molto astratto, quindi deve dire come si fa a maneggiarle, in particolare come si fa a capire che sono uguali.
Da questa esigenza salta fuori la famosa definizione di Euclide: date (A,B) e (C,D) coppie di grandezze confrontabili A sta a B come C sta a D se per ogni naturali n e m "nA>mB sse nC>mD", "nA<mB sse nC<mD" e "nA=mB sse nC=mD".
Questa è una definizione non semplice, che in sostanza vuol dire che i razionali sono densi nell'insieme dei numeri che sta definendo.
Dicevo che questa definizione non è facile non a caso, ma perché sostanzialmente non è stata capita per oltre 2 millenni, ad esempio Galileo diceva che bastava dire che due numeri sono uguali se nessuno dei due è maggiore dell'altro. Quello che non capivano per tanto tempo cioè, è che i numeri andassero definiti, ma piuttosto fossero dati a priori e si potessero fare frasi come quelle di Galileo, il bisogno di dare una definizione per i numeri si è recuperata solo nella seconda metà del 1800 (Dedekind, Weierstrass, Cantor e altri) quindi non direi che sia una cosa semplicissima, quanto piuttosto una cosa molto preziosa.

P.S. Scusa se non ho usato le formule ma sono da cellulare e mi stava particolarmente fatica